Una sola tra le seguenti funzioni ha come dominio R. Individua quale, dandone esauriente spiegazione.

A. y=\sqrt{\cos x-x^2}

B. y=\sqrt{\cos x-\cos ^2x}

C. y=\sqrt{\cos x+x^2}

D. y=\sqrt{\cos x+\cos ^2x}

Per determinare quale delle funzioni ha come dominio l'intero insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \), analizziamo il dominio di ciascuna funzione. Il dominio di una funzione con radice quadrata richiede che l'espressione all'interno della radice sia maggiore o uguale a zero.

### Analisi delle funzioni:

1. **Funzione A: \( y = \sqrt{\cos x - x^2} \)**

   - Per avere la radice definita, deve essere:
     \[
     \cos x - x^2 \geq 0
     \]
   - Poiché \( x^2 \) è sempre positivo o nullo per ogni \( x \in \mathbb{R} \), e \( \cos x \) è limitato tra \(-1\) e \( 1 \), l'espressione \( \cos x - x^2 \) sarà negativa per valori grandi di \( |x| \), poiché \( x^2 \) cresce molto più velocemente di \( \cos x \). 
   - Quindi, questa funzione non è definita su tutto \( \mathbb{R} \).

2. **Funzione B: \( y = \sqrt{\cos x - \cos^2 x} \)**

   - Per questa funzione, richiediamo:
     \[
     \cos x - \cos^2 x \geq 0
     \]
   - Riscriviamo come:
     \[
     \cos x (1 - \cos x) \geq 0
     \]
   - Questa disequazione è soddisfatta quando \( \cos x \) è compreso tra \( 0 \) e \( 1 \). Ciò accade per alcuni intervalli di \( x \), ma non per tutti. 
   - Quindi, la funzione non è definita su tutto \( \mathbb{R} \).

3. **Funzione C: \( y = \sqrt{\cos x + x^2} \)**

   - La condizione da verificare è:
     \[
     \cos x + x^2 \geq 0
     \]
   - Poiché \( x^2 \) è sempre positivo o nullo e \( \cos x \) è compreso tra \(-1\) e \( 1 \), l'espressione \( \cos x + x^2 \) sarà sempre maggiore o uguale a zero per ogni \( x \in \mathbb{R} \).
   - Infatti, anche nel caso peggiore in cui \( \cos x = -1 \), l'espressione diventa \( -1 + x^2 \), che è sempre maggiore o uguale a zero.
   - **Questa funzione è definita su tutto \( \mathbb{R} \).**

4. **Funzione D: \( y = \sqrt{\cos x + \cos^2 x} \)**

   - La condizione è:
     \[
     \cos x + \cos^2 x \geq 0
     \]
   - Dato che \( \cos x \) può essere negativo, la somma \( \cos x + \cos^2 x \) non è garantita ad essere sempre positiva, specialmente per valori di \( \cos x \) prossimi a \(-1\).
   - Quindi, questa funzione non è definita su tutto \( \mathbb{R} \).

### Conclusione
L'unica funzione con dominio \( \mathbb{R} \) è:

**C. \( y = \sqrt{\cos x + x^2} \)**

perché l'espressione all'interno della radice è sempre maggiore o uguale a zero per ogni \( x \in \mathbb{R} \).

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Hai bisogno di ulteriori chiarimenti o dettagli? Ecco alcune domande correlate:

1. Qual è il metodo per determinare il dominio di una funzione con radice quadrata?
2. Come influisce il comportamento di \( \cos x \) sul dominio di una funzione?
3. Quali sono i principali intervalli dove \( \cos x \) cambia segno?
4. Qual è l'effetto di una funzione quadratica nel dominio di una funzione radice?
5. Come si può visualizzare graficamente il dominio di una funzione?

**Tip:** Quando si analizza il dominio di una funzione con una radice quadrata, verificare sempre che l'espressione all'interno della radice sia maggiore o uguale a zero!

Explore which function has the real numbers as its domain. Detailed analysis of functions involving trigonometric and algebraic expressions. Learn about conditions for the domain of square root functions.

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