Per determinare quale delle funzioni ha come dominio l'intero insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$, analizziamo il dominio di ciascuna funzione. Il dominio di una funzione con radice quadrata richiede che l'espressione all'interno della radice sia maggiore o uguale a zero.

Analisi delle funzioni:

1. Funzione A: $y = \sqrt{\cos x - x^2}$

   • Per avere la radice definita, deve essere: $\cos x - x^2 \geq 0$
   • Poiché $x^2$ è sempre positivo o nullo per ogni $x \in \mathbb{R}$, e $\cos x$ è limitato tra $-1$ e $1$, l'espressione $\cos x - x^2$ sarà negativa per valori grandi di $|x|$, poiché $x^2$ cresce molto più velocemente di $\cos x$.
   • Quindi, questa funzione non è definita su tutto $\mathbb{R}$.

2. Funzione B: $y = \sqrt{\cos x - \cos^2 x}$

   • Per questa funzione, richiediamo: $\cos x - \cos^2 x \geq 0$
   • Riscriviamo come: $\cos x (1 - \cos x) \geq 0$
   • Questa disequazione è soddisfatta quando $\cos x$ è compreso tra $0$ e $1$. Ciò accade per alcuni intervalli di $x$, ma non per tutti.
   • Quindi, la funzione non è definita su tutto $\mathbb{R}$.

3. Funzione C: $y = \sqrt{\cos x + x^2}$

   • La condizione da verificare è: $\cos x + x^2 \geq 0$
   • Poiché $x^2$ è sempre positivo o nullo e $\cos x$ è compreso tra $-1$ e $1$, l'espressione $\cos x + x^2$ sarà sempre maggiore o uguale a zero per ogni $x \in \mathbb{R}$.
   • Infatti, anche nel caso peggiore in cui $\cos x = -1$, l'espressione diventa $-1 + x^2$, che è sempre maggiore o uguale a zero.
   • Questa funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$.

4. Funzione D: $y = \sqrt{\cos x + \cos^2 x}$

   • La condizione è: $\cos x + \cos^2 x \geq 0$
   • Dato che $\cos x$ può essere negativo, la somma $\cos x + \cos^2 x$ non è garantita ad essere sempre positiva, specialmente per valori di $\cos x$ prossimi a $-1$.
   • Quindi, questa funzione non è definita su tutto $\mathbb{R}$.

Conclusione

L'unica funzione con dominio $\mathbb{R}$ è:

C. $y = \sqrt{\cos x + x^2}$

perché l'espressione all'interno della radice è sempre maggiore o uguale a zero per ogni $x \in \mathbb{R}$.

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Hai bisogno di ulteriori chiarimenti o dettagli? Ecco alcune domande correlate:

1. Qual è il metodo per determinare il dominio di una funzione con radice quadrata?
2. Come influisce il comportamento di $\cos x$ sul dominio di una funzione?
3. Quali sono i principali intervalli dove $\cos x$ cambia segno?
4. Qual è l'effetto di una funzione quadratica nel dominio di una funzione radice?
5. Come si può visualizzare graficamente il dominio di una funzione?

Tip: Quando si analizza il dominio di una funzione con una radice quadrata, verificare sempre che l'espressione all'interno della radice sia maggiore o uguale a zero!