Math Problem Statement

sebutkan nama masing masing persamaan berikut dan sketsakan grafik persamaan berikut 9x² + 4z² - 36y² =0

Solution

Persamaan yang diberikan adalah:

9x2+4z236y2=09x^2 + 4z^2 - 36y^2 = 0

Langkah-langkah untuk mengidentifikasi jenis persamaan ini dan menggambar grafiknya adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi Jenis Persamaan

Persamaan ini merupakan bentuk kerucut kuadratik, lebih tepatnya persamaan hiperboloid. Mari kita sederhanakan persamaan ini untuk mengidentifikasinya lebih jelas.

9x2+4z236y2=09x^2 + 4z^2 - 36y^2 = 0

Bagi kedua sisi dengan 36:

x24+z29y2=0\frac{x^2}{4} + \frac{z^2}{9} - y^2 = 0

Ini adalah bentuk standar dari kerucut hiperboloid, yang dalam ruang tiga dimensi dapat dipandang sebagai sebuah hiperbola pada setiap bidang.

2. Analisis Grafik

Grafik dari persamaan ini adalah kerucut ganda dengan dua cabang yang terbuka di sepanjang sumbu y. Bentuk ini mirip dengan dua lembar hiperbola yang saling berhadapan. Jika diproyeksikan dalam ruang 3D, grafik akan memiliki dua bagian yang berbentuk seperti "sadel" atau kurva hiperbolik yang memanjang di dua arah.

3. Sketsa Grafik

  • Pada bidang yzyz, persamaan menjadi:

    z29y2=0atauz2=9y2\frac{z^2}{9} - y^2 = 0 \quad \text{atau} \quad z^2 = 9y^2

    Ini menggambarkan dua garis lurus z=±3yz = \pm 3y, yang saling simetris terhadap sumbu y.

  • Pada bidang xyxy, persamaan menjadi:

    x24y2=0ataux2=4y2\frac{x^2}{4} - y^2 = 0 \quad \text{atau} \quad x^2 = 4y^2

    Ini menggambarkan dua garis lurus x=±2yx = \pm 2y.

  • Pada bidang xzxz, persamaan menjadi:

    x24+z29=0\frac{x^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 0

    Tidak ada solusi nyata di bidang ini karena jumlah dari dua bilangan kuadrat tidak dapat sama dengan 0 kecuali keduanya 0. Ini menunjukkan titik di pusat.

Dengan cara ini, persamaan membentuk kerucut ganda yang terbuka di sepanjang sumbu y.

Jika Anda ingin saya membuat sketsa atau visualisasi grafiknya, beri tahu saya, saya bisa membuat gambar 3D-nya.

Pertanyaan Tambahan:

  1. Bagaimana peran koefisien dalam menentukan bentuk dan arah dari kerucut hiperboloid ini?
  2. Apa hubungan antara hiperbola dan elips dalam persamaan kuadratik tiga dimensi?
  3. Bagaimana perubahan dalam koefisien x2x^2, y2y^2, dan z2z^2 akan mengubah bentuk grafik ini?
  4. Bagaimana interpretasi fisika dari grafik kerucut ganda ini dalam konteks energi potensial?
  5. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat ruang seperti ini dalam konteks aljabar linear?

Tip:

Selalu cek apakah persamaan kuadratik tiga dimensi termasuk jenis permukaan kerucut (elipsoid, hiperboloid, paraboloid) agar mempermudah interpretasi grafiknya.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Analytic Geometry
Quadratic Surfaces
Conic Sections

Formulas

9x² + 4z² - 36y² = 0
Standard form of hyperboloid: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} - \frac{y^2}{c^2} = 0 \)

Theorems

Hyperboloid Surface Equation
Quadratic Cone Properties

Suitable Grade Level

College Level