Die Punkt-Normalen-Gleichung einer Ebene in der analytischen Geometrie beschreibt eine Ebene mithilfe eines Punkts auf der Ebene und einem Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie du eine Punkt-Normalen-Gleichung erstellst:

Gegeben:

• Ein Punkt $P(x_0, y_0, z_0)$ auf der Ebene.
• Ein Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, der senkrecht zur Ebene steht.

Schritt 1: Bestimme den Vektor $\vec{r}$

Der Vektor $\vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ repräsentiert einen beliebigen Punkt auf der Ebene.

Schritt 2: Bilde den Vektor $\vec{r} - \vec{r_0}$

Das ist der Verbindungsvektor zwischen einem beliebigen Punkt $P(x_0, y_0, z_0)$ auf der Ebene und einem allgemeinen Punkt $(x, y, z)$. Dieser Vektor lautet: $\vec{r} - \vec{r_0} = \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{pmatrix}$

Schritt 3: Verwende das Skalarprodukt

Die Ebene ist so definiert, dass der Vektor $\vec{r} - \vec{r_0}$ orthogonal (senkrecht) zum Normalenvektor $\vec{n}$ ist. Daraus folgt: $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0$ Das bedeutet, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Verbindungsvektor gleich null ist.

Schritt 4: Setze die Werte ein

Nun setzt man die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ und des Verbindungsvektors $\vec{r} - \vec{r_0} = \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{pmatrix}$ in das Skalarprodukt ein: $a \cdot (x - x_0) + b \cdot (y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = 0$

Ergebnis:

Die Punkt-Normalen-Gleichung der Ebene lautet dann: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ Das ist die allgemeine Form der Punkt-Normalen-Gleichung einer Ebene.

Möchtest du eine konkrete Beispielrechnung oder hast du eine Frage dazu?

Weitere Fragen:

1. Wie bestimme ich den Normalenvektor, wenn ich nur drei Punkte der Ebene kenne?
2. Wie lässt sich eine Punkt-Normalen-Gleichung in die Koordinatenform umwandeln?
3. Wie findet man die Schnittgerade zweier Ebenen mit ihren Normalenvektoren?
4. Wie lässt sich die Lage eines Punktes bezüglich einer Ebene bestimmen?
5. Wie kann man die Punkt-Normalen-Gleichung einer Ebene in der Parameterdarstellung umformen?

Tipp:

Den Normalenvektor einer Ebene kannst du auch mithilfe von zwei Richtungsvektoren bestimmen, die in der Ebene liegen, indem du ihr Kreuzprodukt berechnest.