判断两个数是否互质的关键在于它们的 最大公约数（GCD）是否为 1。如果两个数的最大公约数为 1，则它们互质；否则不互质。以下是判断方法的详细步骤：

方法 1：使用辗转相除法（欧几里得算法）

1. 取两个数 $a$ 和 $b$。
2. 使用辗转相除法计算 $a$ 和 $b$ 的最大公约数：
   • 令 $r = a \mod b$ （$r$ 是 $a$ 除以 $b$ 的余数）。
   • 将 $a$ 赋值为 $b$，$b$ 赋值为 $r$。
   • 重复以上步骤，直到 $b = 0$。此时 $a$ 的值即为最大公约数。
3. 如果最大公约数是 1，则 $a$ 和 $b$ 互质；否则不互质。

方法 2：质因数分解法

1. 将两个数分别分解成质因数的乘积。
2. 检查它们的质因数是否有公共部分：
   • 如果没有任何相同的质因数，则两数互质。
   • 如果有相同的质因数，则不互质。

方法 3：直接使用编程工具或函数

许多编程语言和数学工具提供了计算最大公约数的函数，例如 Python 的 math.gcd 或计算器中的 GCD 功能。

示例

示例 1：判断 $15$ 和 $28$ 是否互质

• 使用辗转相除法计算最大公约数：
  1. $28 \mod 15 = 13$，将 $a = 15, b = 13$。
  2. $15 \mod 13 = 2$，将 $a = 13, b = 2$。
  3. $13 \mod 2 = 1$，将 $a = 2, b = 1$。
  4. $2 \mod 1 = 0$，最大公约数是 1。
• 因此，$15$ 和 $28$ 互质。

示例 2：判断 $12$ 和 $18$ 是否互质

• 使用辗转相除法计算最大公约数：
  1. $18 \mod 12 = 6$，将 $a = 12, b = 6$。
  2. $12 \mod 6 = 0$，最大公约数是 6。
• 因此，$12$ 和 $18$ 不互质。

---

你有其他问题或需要更详细的解释吗？以下是相关问题的拓展：

1. 什么是辗转相除法的数学原理？
2. 两个质数的乘积是否总是与其他数互质？
3. 互质数和相邻整数（如 $n$ 和 $n+1$）有什么关系？
4. 在实际应用中，如何快速判断两个数是否互质？
5. 两个数互质的概率是多少（如在随机数中）？

小贴士

学习辗转相除法不仅能帮助判断互质，还可以用于快速求解分数化简和最小公倍数问题。