La función racional que necesitas graficar es:

$f(x) = \frac{-2x^2 + 6x}{x^2 - 4x + 3}$

Paso 1: Simplificar la función si es posible

Primero, factorizamos tanto el numerador como el denominador.

• Numerador: $-2x^2 + 6x = -2x(x - 3)$
• Denominador: $x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)$

Así que la función simplificada es:

$f(x) = \frac{-2x(x - 3)}{(x - 3)(x - 1)}$

Podemos cancelar el factor $x - 3$, pero esto introduce un agujero (discontinuidad removible) en $x = 3$:

$f(x) = \frac{-2x}{x - 1}, \quad x \neq 3$

Paso 2: Encontrar las asíntotas

Asíntota vertical:

La asíntota vertical ocurre cuando el denominador es igual a 0 (sin poder simplificar).

$x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$

Por lo tanto, hay una asíntota vertical en $x = 1$.

Asíntota horizontal:

Para encontrar la asíntota horizontal, observamos el comportamiento cuando $x \to \infty$. Como el grado del numerador y el denominador es el mismo, la asíntota horizontal se determina por los coeficientes de los términos de mayor grado:

$y = \frac{-2}{1} = -2$

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en $y = -2$.

Paso 3: Identificar el agujero

El agujero está en $x = 3$, ya que cancelamos el factor $x - 3$. Para encontrar el valor de $y$ en el agujero, sustituimos $x = 3$ en la función simplificada:

$f(3) = \frac{-2(3)}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Entonces, el agujero está en el punto $(3, -3)$.

Paso 4: Trazar puntos adicionales

Puedes elegir algunos valores de $x$ para trazar puntos adicionales. Por ejemplo:

• Para $x = 0$: $f(0) = 0$
• Para $x = 2$: $f(2) = \frac{-2(2)}{2 - 1} = -4$

Con esta información, puedes dibujar la gráfica de la función.

Resumen:

• Asíntota vertical: $x = 1$
• Asíntota horizontal: $y = -2$
• Agujero: $(3, -3)$
• Puntos adicionales: $(0, 0)$, $(2, -4)$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afectan las discontinuidades a la gráfica de una función racional?
2. ¿Cómo se identifican y manejan los agujeros en las funciones racionales?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una asíntota horizontal y una oblicua?
4. ¿Qué sucede si el grado del numerador es mayor que el del denominador?
5. ¿Cómo afecta el comportamiento al infinito a la existencia de asíntotas?

Tip: Cuando graficas una función racional, siempre verifica si existen discontinuidades (como agujeros o asíntotas) para dibujar con precisión la gráfica.