https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726811844760wnwtxxlc.jpg

La función racional que necesitas graficar es:

\[
f(x) = \frac{-2x^2 + 6x}{x^2 - 4x + 3}
\]

### Paso 1: Simplificar la función si es posible
Primero, factorizamos tanto el numerador como el denominador.

- Numerador: \(-2x^2 + 6x = -2x(x - 3)\)
- Denominador: \(x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)\)

Así que la función simplificada es:

\[
f(x) = \frac{-2x(x - 3)}{(x - 3)(x - 1)}
\]

Podemos cancelar el factor \(x - 3\), pero esto introduce un **agujero** (discontinuidad removible) en \(x = 3\):

\[
f(x) = \frac{-2x}{x - 1}, \quad x \neq 3
\]

### Paso 2: Encontrar las asíntotas

#### Asíntota vertical:
La asíntota vertical ocurre cuando el denominador es igual a 0 (sin poder simplificar).

\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Por lo tanto, hay una asíntota vertical en \(x = 1\).

#### Asíntota horizontal:
Para encontrar la asíntota horizontal, observamos el comportamiento cuando \(x \to \infty\). Como el grado del numerador y el denominador es el mismo, la asíntota horizontal se determina por los coeficientes de los términos de mayor grado:

\[
y = \frac{-2}{1} = -2
\]

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \(y = -2\).

### Paso 3: Identificar el agujero
El agujero está en \(x = 3\), ya que cancelamos el factor \(x - 3\). Para encontrar el valor de \(y\) en el agujero, sustituimos \(x = 3\) en la función simplificada:

\[
f(3) = \frac{-2(3)}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3
\]

Entonces, el agujero está en el punto \((3, -3)\).

### Paso 4: Trazar puntos adicionales
Puedes elegir algunos valores de \(x\) para trazar puntos adicionales. Por ejemplo:

- Para \(x = 0\): \(f(0) = 0\)
- Para \(x = 2\): \(f(2) = \frac{-2(2)}{2 - 1} = -4\)

Con esta información, puedes dibujar la gráfica de la función.

### Resumen:

- **Asíntota vertical**: \(x = 1\)
- **Asíntota horizontal**: \(y = -2\)
- **Agujero**: \((3, -3)\)
- **Puntos adicionales**: \((0, 0)\), \((2, -4)\)

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afectan las discontinuidades a la gráfica de una función racional?
2. ¿Cómo se identifican y manejan los agujeros en las funciones racionales?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una asíntota horizontal y una oblicua?
4. ¿Qué sucede si el grado del numerador es mayor que el del denominador?
5. ¿Cómo afecta el comportamiento al infinito a la existencia de asíntotas?

**Tip**: Cuando graficas una función racional, siempre verifica si existen discontinuidades (como agujeros o asíntotas) para dibujar con precisión la gráfica.

Trazar el gráfico de la función racional: f(x) = (-2x^2 + 6x) / (x^2 - 4x + 3).

Learn how to graph the rational function f(x) = (-2x^2 + 6x) / (x^2 - 4x + 3). This problem involves factorization, identifying asymptotes, and locating holes. The solution includes vertical and horizontal asymptotes and points to ensure the graph is drawn accurately.

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