Вашето доказателство изглежда доста добро, но има някои малки неточности, които трябва да бъдат разгледани и коригирани, за да бъде напълно вярно и ясно. Нека разгледаме и двете посоки на доказателството, както и някои важни моменти.

1. Първата посока (⇒): Ако $G$ има срязващ връх, то $G$ има връх от степен 1

Доказателството е правилно в основната си структура, но има неясности относно какво точно се случва след премахването на срязващия връх $v$ и разпадането на графа на компоненти на свързаност. Нека уточним някои подробности:

• Нека $v$ е срязващ връх в $G$. След премахването на $v$, графът $G - v$ се разпада на поне две компоненти на свързаност.
• Тъй като графът $G$ е изоморфен на своето допълнение $G'$, това означава, че всяка компонента в $G - v$ ще има съответстваща компонента в $G'$, но с обратно разположение на свързаността и несвързаността между върховете. В $G'$ тези компоненти ще бъдат свързани.
• За да е $v$ срязващ връх, една от компонентите след премахването на $v$ трябва да бъде съставена само от един връх $u$, защото в противен случай ще има повече ребра в $G'$ (срещу предположението, че графът е изоморфен на своето допълнение). Това означава, че $u$ е връх от степен 1 в $G$, тъй като е свързан само с $v$.

Затова, доказателството е вярно и правилно в тази част.

2. Втората посока (⇐): Ако $G$ има връх от степен 1, то $G$ има срязващ връх

Това доказателство също е вярно, но бих искал да добавя малко уточнение:

• Нека $u$ е връх от степен 1 в $G$, и нека $v$ е единственият връх, с който $u$ е свързан.
• След премахването на $u$ в $G$, върхът $v$ остава свързан с всички останали върхове, освен $u$. Това създава една компонента, която съдържа само върха $v$ и всичките останали върхове от графа.
• Тъй като $G$ е изоморфен на своето допълнение $G'$, тогава $u$ трябва да бъде свързан с всички върхове освен $v$ в $G'$. Това означава, че премахването на $v$ от $G$ ще разгради графа на две компоненти, което прави $v$ срязващ връх.

Доказателството тук също изглежда правилно, тъй като премахването на $v$ действително разделя графа на две компоненти и отговаря на условията за срязващ връх.

Обобщение

Вашето доказателство в двете посоки е вярно, като основните стъпки са логични и добре обосновани. Има само малки нюанси, които са обяснени по-задълбочено тук, за да се гарантира правилността на всяка стъпка.

Имате ли въпроси или искате допълнителни разяснения относно доказателството?

Разширени въпроси:

1. Какво означава точно "срязващ връх" и какво свойство има графът, ако има срязващ връх?
2. Какво се случва, ако графът не е изоморфен на своето допълнение? Може ли да има срязващи върхове?
3. Каква е връзката между изоморфизма на графове и допълнението на графа?
4. Какъв е алгоритъмът за намиране на срязващ връх в даден граф?
5. Какво се случва, ако графът има повече от един срязващ връх?

Съвет:

Не забравяйте, че когато работите с графове, много важно е да обмислите как ще влияе променянето на един връх върху свързаността на графа, както и как може да бъде използвана концепцията за изоморфизъм, за да направите логични заключения.