Die Funktion $f(x) = -\frac{1}{160}x^2 + 4$ beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Hier sind die wichtigsten Informationen über diese Funktion und ihr Koordinatensystem:

Wichtige Eigenschaften

1. Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei $(0, 4)$, da die Funktion in der Form $f(x) = a(x-h)^2 + k$ ist, wobei $h = 0$ und $k = 4$.

2. Öffnung der Parabel: Der Wert $a = -\frac{1}{160}$ zeigt an, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und recht flach verläuft.

3. Symmetrieachse: Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse ($x = 0$).

4. Nullstellen:

   • Setze $f(x) = 0$:
     $-\frac{1}{160}x^2 + 4 = 0$ $x^2 = 640$ $x = \pm \sqrt{640} \approx \pm 25.3$ Die Nullstellen liegen also bei $x \approx -25.3$ und $x \approx 25.3$.

5. Definitions- und Wertebereich:

   • Definitionsbereich: $x \in \mathbb{R}$
   • Wertebereich: $f(x) \leq 4$

Darstellung im Koordinatensystem

1. Zeichne die y-Achse (Symmetrieachse) und markiere den Scheitelpunkt bei $(0, 4)$.
2. Markiere die Nullstellen bei $x \approx -25.3$ und $x \approx 25.3$.
3. Die Funktion fällt symmetrisch von $f(0) = 4$ ab und erreicht $f(x) = 0$ an den Nullstellen.

Soll ich die Funktion für dich grafisch darstellen oder eine Tabelle mit Werten erstellen?

Fragen:

1. Wie beeinflusst der Parameter $a$ die Breite und Richtung der Parabel?
2. Wie berechnet man den Scheitelpunkt, wenn die Funktion nicht in der Scheitelpunktform vorliegt?
3. Was bedeutet der Wertebereich der Funktion in der Praxis?
4. Wie ändern sich Nullstellen, wenn man den Scheitelpunkt der Parabel verschiebt?
5. Welche Eigenschaften hat eine Parabel mit $a > 0$?

Tipp:

Um den Verlauf einer quadratischen Funktion zu verstehen, helfen Symmetrie, Scheitelpunkt und Nullstellen als Orientierungspunkte im Koordinatensystem.