Math Problem Statement
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA a 2 và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên SM . a) Độ dài đoạn thẳng AH bằng 6 11 a b) Đường thẳng SH là hình chiếu của đường thẳng SA lên mặt phẳng SBC c) Đường thẳng AH vuông góc với mặt phẳng SBC . d) Cosin góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng SBC ( biết góc giữa đường thẳng với mp bằng góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của đường thẳng lên mp) bằng 11 3 (vẽ và giải chi tiết
Solution
Để giải quyết bài toán, ta cần làm theo các bước cụ thể. Cấu trúc của hình chóp bao gồm một tam giác đều với các cạnh có độ dài , vuông góc với mặt đáy và . Các thông tin khác như là trung điểm của và là hình chiếu vuông góc của lên . Hãy giải quyết các câu hỏi từng bước.
a) Đoạn thẳng bằng
Giải:
-
Đặc điểm hình học của bài toán:
- Tam giác đáy là tam giác đều, với các cạnh bằng , do đó, độ dài các cạnh của tam giác đáy là .
- vuông góc với mặt đáy và có độ dài .
- là trung điểm của , và là hình chiếu vuông góc của lên .
-
Vị trí của các điểm:
- Ta đặt hệ trục tọa độ sao cho , , , và .
- Trung điểm của có tọa độ .
-
Tính độ dài đoạn thẳng :
- Để tính độ dài , ta cần sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông với và .
Do đó, .
b) Đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
Giải:
-
Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm , , và . Để tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng này, ta cần xác định phương trình mặt phẳng và sau đó tính toán tọa độ của hình chiếu của trên mặt phẳng .
-
Đặc điểm hình học:
- Đoạn thẳng vuông góc với mặt đáy và có độ dài là .
- Hình chiếu của lên mặt phẳng tạo thành đường thẳng .
c) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Giải:
- Trong trường hợp này, ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Điều này có thể được chứng minh bằng cách tính toán vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và kiểm tra điều kiện vuông góc giữa vectơ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này.
d) Cosin góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng
Giải:
-
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
- Để tính góc này, ta cần tính cosin góc giữa vectơ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
- Từ đó, cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bằng công thức:
trong đó là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
-
Tính cosin góc:
- Theo bài toán, cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Hướng giải chi tiết:
- Bài toán yêu cầu vẽ hình chóp , xác định các vị trí các điểm trong không gian và tính toán độ dài các đoạn thẳng liên quan.
- Ta sẽ sử dụng các công thức hình học cơ bản, định lý Pythagore và các phương pháp tính góc, chiếu vuông góc để giải quyết các câu hỏi.
Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết hơn về từng bước cụ thể không?
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Geometry
3D Geometry
Pythagorean Theorem
Vector Calculus
Cosine of Angles
Formulas
Pythagorean Theorem: a^2 + b^2 = c^2
Cosine of Angle: cos(θ) = |A · B| / (|A| * |B|)
Theorems
Pythagorean Theorem
Projection Theorem
Vector Perpendicularity
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Length of SH in Pyramid with Square Base
Solid Geometry Problem: Analyzing Perpendicular Planes and Angles in Pyramid S.ABCD
3D Geometry Problem: Tính Thể Tích Hình Chóp S.ABCD
Geometric Properties of a Pyramid: Angle SCD and Surface Area Analysis
Calculate the Volume of Pyramid S.ABC with Given Dimensions and Distance