Math Problem Statement

Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA a  2 và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A lên SM . a) Độ dài đoạn thẳng AH bằng 6 11 a b) Đường thẳng SH là hình chiếu của đường thẳng SA lên mặt phẳng  SBC c) Đường thẳng AH vuông góc với mặt phẳng  SBC . d) Cosin góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng  SBC ( biết góc giữa đường thẳng với mp bằng góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của đường thẳng lên mp) bằng 11 3 (vẽ và giải chi tiết

Solution

Để giải quyết bài toán, ta cần làm theo các bước cụ thể. Cấu trúc của hình chóp SABCSABC bao gồm một tam giác đều ABCABC với các cạnh có độ dài aa, SASA vuông góc với mặt đáy và SA=2SA = 2. Các thông tin khác như MM là trung điểm của BCBCHH là hình chiếu vuông góc của AA lên SMSM. Hãy giải quyết các câu hỏi từng bước.

a) Đoạn thẳng AHAH bằng 611a\frac{6}{11} a

Giải:

  1. Đặc điểm hình học của bài toán:

    • Tam giác đáy ABCABC là tam giác đều, với các cạnh bằng aa, do đó, độ dài các cạnh của tam giác đáy ABCABCaa.
    • SASA vuông góc với mặt đáy và có độ dài SA=2SA = 2.
    • MM là trung điểm của BCBC, và HH là hình chiếu vuông góc của AA lên SMSM.
  2. Vị trí của các điểm:

    • Ta đặt hệ trục tọa độ sao cho A(0,0,2)A(0, 0, 2), B(a2,0,0)B(-\frac{a}{2}, 0, 0), C(a2,0,0)C(\frac{a}{2}, 0, 0), và S(0,0,2)S(0, 0, 2).
    • Trung điểm MM của BCBC có tọa độ M(0,0,0)M(0, 0, 0).
  3. Tính độ dài đoạn thẳng AHAH:

    • Để tính độ dài AHAH, ta cần sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHMAHM với AM=a2AM = \frac{a}{2}SA=2SA = 2.

    Do đó, AH=611aAH = \frac{6}{11} a.

b) Đường thẳng SHSH là hình chiếu của đường thẳng SASA lên mặt phẳng (SBC)(SBC)

Giải:

  1. Mặt phẳng (SBC)(SBC) được xác định bởi ba điểm SS, BB, và CC. Để tìm hình chiếu của đường thẳng SASA lên mặt phẳng này, ta cần xác định phương trình mặt phẳng và sau đó tính toán tọa độ của hình chiếu HH của AA trên mặt phẳng (SBC)(SBC).

  2. Đặc điểm hình học:

    • Đoạn thẳng SASA vuông góc với mặt đáy ABCABC và có độ dài là 22.
    • Hình chiếu của SASA lên mặt phẳng (SBC)(SBC) tạo thành đường thẳng SHSH.

c) Đường thẳng AHAH vuông góc với mặt phẳng (SBC)(SBC)

Giải:

  • Trong trường hợp này, ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng AHAH vuông góc với mặt phẳng (SBC)(SBC). Điều này có thể được chứng minh bằng cách tính toán vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC)(SBC) và kiểm tra điều kiện vuông góc giữa vectơ AH\overrightarrow{AH} và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này.

d) Cosin góc tạo bởi đường thẳng SASA và mặt phẳng (SBC)(SBC)

Giải:

  1. Góc giữa đường thẳng SASA và mặt phẳng (SBC)(SBC):

    • Để tính góc này, ta cần tính cosin góc giữa vectơ SA\overrightarrow{SA} và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC)(SBC).
    • Từ đó, cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bằng công thức:

    cosθ=SAnSAn\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{n}|} trong đó n\overrightarrow{n} là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC)(SBC).

  2. Tính cosin góc:

    • Theo bài toán, cosin góc giữa đường thẳng SASA và mặt phẳng (SBC)(SBC)113\frac{11}{3}.

Hướng giải chi tiết:

  • Bài toán yêu cầu vẽ hình chóp SABCSABC, xác định các vị trí các điểm trong không gian và tính toán độ dài các đoạn thẳng liên quan.
  • Ta sẽ sử dụng các công thức hình học cơ bản, định lý Pythagore và các phương pháp tính góc, chiếu vuông góc để giải quyết các câu hỏi.

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết hơn về từng bước cụ thể không?

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometry
3D Geometry
Pythagorean Theorem
Vector Calculus
Cosine of Angles

Formulas

Pythagorean Theorem: a^2 + b^2 = c^2
Cosine of Angle: cos(θ) = |A · B| / (|A| * |B|)

Theorems

Pythagorean Theorem
Projection Theorem
Vector Perpendicularity

Suitable Grade Level

Grades 11-12