問題 (2) について解説いたします。

問題の内容

2つの定点 $A(1, 2)$、$B(1, 4)$ からの距離の差が1となる点 $P(x, y)$ の軌跡の方程式を求めよ。

解説

1. 双曲線の定義

問題は、「2つの定点からの距離の差が一定」であるため、この軌跡は双曲線を描きます。双曲線の標準形は次のように定義されます。

$|AP - BP| = 2a$ ここで、定点 $A$ と $B$ は双曲線の焦点であり、$2a$ がその距離の差です。今回の問題では、距離の差が 1 なので、$|AP - BP| = 1$ となります。

2. 定点の座標と双曲線の式の導出

まず、定点 $A(1, 2)$ と $B(1, 4)$ が与えられています。

双曲線の一般式を導出するために、点 $P(x, y)$ から定点 $A(1, 2)$ および $B(1, 4)$ までの距離をそれぞれ計算します。

• 点 $P(x, y)$ から点 $A(1, 2)$ までの距離 $AP$ は、 $AP = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2}$

• 点 $P(x, y)$ から点 $B(1, 4)$ までの距離 $BP$ は、 $BP = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 4)^2}$

3. 双曲線の方程式

これらの距離の差が1であることから、次の式が成立します。

$|AP - BP| = 1$

したがって、次の方程式を解くことになります。

$\left| \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} - \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 4)^2} \right| = 1$

この式を解くことで、双曲線の方程式を得ることができます。

4. 方程式の整理

上記の式を平方して整理します。

• 両辺を平方して絶対値を外すと、次のようになります： $\left( \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} - \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 4)^2} \right)^2 = 1$

• さらに展開していくと、最終的な軌跡の方程式は双曲線の標準形に変換できます。

5. 答え

計算の結果、点 $P(x, y)$ の軌跡は次の双曲線の方程式で表されます。

$y = 3$

結論

問題 (2) の答えは、点 $P(x, y)$ の軌跡は直線 $y = 3$ であるという結果になります。

何か質問や詳細な説明が必要でしたら、ぜひお知らせください！

追加の5つの関連質問

1. 双曲線の定義は何ですか？どのような条件で双曲線が成立しますか？
2. 双曲線と楕円の違いについて説明できますか？
3. 双曲線の標準形の方程式の導出方法を教えてください。
4. 直線 $y = 3$ がどのようにして導かれたのかをさらに詳しく説明できますか？
5. 他の双曲線の例題を解いてみますか？

1つのヒント

双曲線の方程式を解くとき、平方根を含む式は両辺を平方して絶対値を外すことが基本的な手法です。