Senza utilizzare limiti. Considera l'iperbole di equazione y = (x)/(-1x+2). Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x, che ha vertice nel centro dell'iperbole e passa per l'origine.

Per risolvere questo problema, dobbiamo seguire alcuni passaggi:

1. **Determinare il centro dell'iperbole.**
2. **Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x.**

### 1. Centro dell'Iperbole

L'equazione dell'iperbole data è:
\[
y = \frac{x}{-x + 2}
\]

Questa equazione può essere riscritta come:
\[
y = \frac{-x}{x - 2}
\]

Il centro di un'iperbole in forma generale \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) è dato dal punto in cui la derivata prima è zero, ovvero il punto in cui la funzione cambia il suo segno da crescente a decrescente o viceversa. Tuttavia, per il centro geometrico, possiamo considerare i punti in cui le asintoti si incontrano.

Poiché l'iperbole ha un asintoto verticale \(x = 2\) (poiché il denominatore si annulla per \(x = 2\)), il centro dell'iperbole sarà a metà strada lungo il suo asse verticale, dato che il coefficiente di \(y\) (sebbene implicito come 1) è costante.

Il centro geometrico di questa iperbole è il punto \((2, -1)\). Ciò deriva dal prendere \(x = 2\) e poi trovare il corrispondente valore di \(y\) in modo simile a quanto si farebbe per determinare i punti di intersezione con le asintoti.

### 2. Equazione della Parabola

Una parabola con asse parallelo all'asse x e vertice nel punto \((h, k)\) ha la forma generale:

\[
(y - k)^2 = 4p(x - h)
\]

Qui, il vertice \((h, k)\) della parabola è il centro dell'iperbole, cioè \((2, -1)\). Inoltre, la parabola deve passare per l'origine \((0, 0)\).

Sostituendo questi valori, otteniamo:

\[
(y + 1)^2 = 4p(x - 2)
\]

Ora, imponiamo che la parabola passi per l'origine \((0, 0)\):

\[
(0 + 1)^2 = 4p(0 - 2)
\]

\[
1 = 4p(-2)
\]

\[
1 = -8p
\]

\[
p = -\frac{1}{8}
\]

Quindi, l'equazione della parabola diventa:

\[
(y + 1)^2 = -\frac{1}{2}(x - 2)
\]

Moltiplicando entrambi i lati per 2 per semplificare:

\[
2(y + 1)^2 = -(x - 2)
\]

E finalmente:

\[
2(y + 1)^2 = -x + 2
\]

### Conclusione

L'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x, che ha il vertice nel centro dell'iperbole data e passa per l'origine, è:

\[
2(y + 1)^2 = -x + 2
\]

Hai altre domande o desideri ulteriori chiarimenti?

### Domande correlate:

1. Come si determina l'equazione dell'iperbole a partire dai suoi asintoti e dal centro?
2. Come si calcola il fuoco di una parabola data in forma standard?
3. Quali sono le proprietà di una parabola il cui asse è parallelo all'asse x?
4. In che modo la trasformazione di coordinate può aiutare a semplificare l'equazione di un'iperbole?
5. Come si trova l'intersezione tra una parabola e un'iperbole?

### Suggerimento:

Ricorda che le parabole possono avere assi paralleli a uno degli assi di coordinate. Determinare l'asse di simmetria è cruciale per scrivere correttamente la loro equazione.

Discover how to derive the equation of a parabola with its vertex at the center of a given hyperbola and passing through the origin. This problem involves advanced algebraic concepts, focusing on hyperbolas and parabolas. Suitable for advanced high school students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation