Voici les réponses aux affirmations données :

(a) Deux segments de droite sont congrus s’ils ont même longueur.

• Vrai. Par définition, deux segments sont congrus s’ils ont la même longueur.

(b) Deux angles sont congrus s’ils ont même mesure.

• Vrai. Deux angles sont dits congrus s’ils ont la même mesure.

(c) Tous les cercles sont similaires.

• Vrai. Tous les cercles sont similaires puisque la forme d’un cercle ne change pas, seuls le rayon et la taille varient, ce qui est la condition pour la similarité (les angles restent identiques et les proportions sont constantes).

(d) Une réflexion appliquée à un polygone n’en change pas l’aire.

• Vrai. Une réflexion (ou symétrie) est une transformation isométrique qui ne modifie ni la taille, ni la forme, donc l’aire reste inchangée.

(e) Une dilatation appliquée à un angle n’en change pas la mesure.

• Vrai. Une dilatation conserve les angles puisque c’est une transformation homothétique qui ne modifie pas les angles mais uniquement les longueurs.

(f) Une dilatation appliquée à un polygone n’en change pas l’aire.

• Faux. Une dilatation modifie les longueurs proportionnellement, et l'aire est modifiée par le carré du facteur de dilatation. Par exemple, si on applique une dilatation avec un facteur $k$, l’aire sera multipliée par $k^2$.

(g) Deux hexagones réguliers sont semblables.

• Vrai. Deux hexagones réguliers sont toujours semblables car leurs angles sont tous égaux et leurs côtés sont proportionnels.

(h) Deux triangles isocèles sont semblables.

• Faux. Deux triangles isocèles ne sont pas nécessairement semblables. Pour qu'ils soient semblables, il faut que leurs angles correspondants soient égaux ou que leurs côtés soient proportionnels, ce qui n’est pas garanti simplement parce qu’ils sont isocèles.

(i) Être congru est une relation d’équivalence entre les triangles de $P$.

• Vrai. La congruence est une relation d’équivalence entre les triangles car elle est réflexive, symétrique et transitive.

(j) Être semblable est une relation d’équivalence entre les triangles de $P$.

• Vrai. La similarité est également une relation d’équivalence puisqu’elle satisfait aux propriétés réflexives, symétriques et transitives.

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Souhaitez-vous des explications supplémentaires pour l'une des affirmations ?

Questions liées :

1. Pourquoi les transformations isométriques ne changent-elles pas l'aire des polygones ?
2. En quoi une dilatation influence-t-elle les longueurs et les aires ?
3. Quels sont les critères de similarité des triangles ?
4. Quelles transformations conservent à la fois l'aire et la forme des figures géométriques ?
5. Comment prouver que tous les cercles sont similaires ?

Astuce :

Pour déterminer si deux figures géométriques sont semblables, vérifiez si leurs angles sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.