La pregunta en la imagen solicita escribir la sucesión que se forma con las medidas de los lados de los cuadrados, comenzando con un cuadrado inicial cuyo área es de 64 cm² y cuyas figuras siguientes se forman uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior.

Procedimiento:

1. Área del primer cuadrado: El cuadrado mayor tiene un área de $64 \, \text{cm}^2$. Para encontrar la longitud del lado, usamos la fórmula del área de un cuadrado: $\text{Área} = \text{Lado}^2$ Entonces, resolviendo para el lado: $L = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}$ Por lo tanto, el lado del primer cuadrado mide 8 cm.

2. Construcción del segundo cuadrado: El segundo cuadrado se construye uniendo los puntos medios de los lados del primer cuadrado. Esto forma un nuevo cuadrado inscrito en el anterior, cuyos lados son más pequeños. La propiedad clave aquí es que el lado del nuevo cuadrado es $\frac{1}{\sqrt{2}}$ veces el lado del cuadrado anterior.

   El lado del segundo cuadrado será: $L_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 8 = \frac{8}{\sqrt{2}} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \times 0.7071 \approx 5.656 \, \text{cm}$

3. Construcción del tercer cuadrado: Siguiendo el mismo patrón, el lado del tercer cuadrado es $\frac{1}{\sqrt{2}}$ veces el lado del segundo cuadrado: $L_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 5.656 \approx 5.656 \times 0.7071 \approx 4 \, \text{cm}$

4. Cuarto cuadrado: El lado del cuarto cuadrado será nuevamente $\frac{1}{\sqrt{2}}$ veces el lado del tercer cuadrado: $L_4 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 4 \approx 4 \times 0.7071 = 2.828 \, \text{cm}$

Sucesión formada:

La sucesión que describe las longitudes de los lados de los cuadrados es: $8, \, 5.656, \, 4, \, 2.828, \dots$ Esta sucesión sigue la fórmula: $L_n = \frac{8}{(\sqrt{2})^{n-1}} \quad \text{donde} \, n \, \text{es el número del cuadrado en la sucesión}.$

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta sobre el proceso? Aquí algunas preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se puede generalizar la fórmula para cualquier cuadrado inscrito en otro?
2. ¿Cómo afecta el factor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ al área de los cuadrados?
3. ¿Cómo se deriva el factor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ para cuadrados inscritos?
4. ¿Cuál es el área del segundo cuadrado y los siguientes?
5. ¿Cómo cambia la proporción entre los lados a medida que construimos más cuadrados?

Tip: Para cuadriláteros inscritos en otro cuadrado uniendo los puntos medios de los lados, el área y el lado se reducen por un factor de $\frac{1}{2}$ en cada paso.