برای حل این مسئله، از فرمول عمومی دنباله هندسی استفاده می‌کنیم:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

که در آن:

• $a_n$ جمله‌ی $n$-ام
• $a_1$ جمله‌ی اول
• $r$ قدر نسبت
• $n$ شماره‌ی جمله است.

اطلاعات مسئله:

• $a_1 = 18$
• $r = -\frac{2}{3}$
• $a_n = \frac{512}{729}$

جایگذاری در فرمول:

$\frac{512}{729} = 18 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

مرحله ۱: حذف ۱۸ از دو طرف

برای ساده کردن معادله، دو طرف را بر ۱۸ تقسیم می‌کنیم:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{\frac{512}{729}}{18}$

ابتدا $\frac{512}{729}$ را بر ۱۸ تقسیم می‌کنیم:

$\frac{512}{729} \div 18 = \frac{512}{729} \cdot \frac{1}{18} = \frac{512}{13122}$

پس معادله به شکل زیر می‌شود:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{512}{13122}$

مرحله ۲: نوشتن صورت و مخرج به صورت توان‌ها

توجه کنیم که:

$512 = 2^9, \quad 13122 = 3^9$

پس:

$\frac{512}{13122} = \left(\frac{2}{3}\right)^9$

بنابراین معادله به این شکل ساده می‌شود:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^9$

مرحله ۳: حذف علامت منفی و ساده‌سازی توان‌ها

چون پایه سمت چپ منفی است و سمت راست مثبت، $n-1$ باید زوج باشد تا علامت منفی حذف شود. همچنین چون پایه‌ها برابر هستند، می‌توان توان‌ها را برابر قرار داد:

$n-1 = 9$

مرحله ۴: محاسبه $n$

با افزودن ۱ به دو طرف داریم:

$n = 10$

پاسخ نهایی:

جمله‌ی مورد نظر دهمین جمله از دنباله است.

---

آیا نیاز به توضیح بیشتر یا گام‌های دیگری دارید؟ 😊
پرسش‌های مرتبط برای تمرین:

1. چگونه قدر نسبت منفی بر علامت جملات دنباله تأثیر می‌گذارد؟
2. اگر $a_1 = 18$ و $r = \frac{1}{2}$ بود، جمله دهم دنباله چقدر می‌شد؟
3. دنباله‌های حسابی و هندسی چه تفاوت‌هایی در فرمول کلی دارند؟
4. اگر $a_1 = 5$ و $a_4 = -40$، قدر نسبت دنباله را چگونه می‌توان یافت؟
5. آیا جمله‌ای در این دنباله هندسی می‌تواند صفر باشد؟ چرا؟

یک نکته: در دنباله‌های هندسی با $|r| < 1$، جملات به سمت صفر میل می‌کنند.