Para resolver el problema, el objetivo es construir una recta que pase por el punto $P$ dentro de un ángulo con vértice $A$ y cuyos puntos de intersección $B$ y $C$ con los lados del ángulo sean equidistantes de $P$. La idea es usar la simetría del punto $A$ con respecto a $P$ para construir tales puntos $B$ y $C$. A continuación, se describen detalladamente los pasos de la construcción y la demostración:

Construcción paso a paso:

1. Reflejar el vértice $A$ con respecto a $P$:

   • Llamemos $A'$ al punto simétrico de $A$ respecto a $P$. Para hallar $A'$, dibujamos una línea que pase por $A$ y $P$, y marcamos $A'$ a la misma distancia que $A$ pero en el lado opuesto de $P$.

2. Dibujar las paralelas a los lados del ángulo:

   • Sean $a$ y $b$ los lados del ángulo con vértice en $A$.
   • Por el punto $A'$, trazamos dos rectas:
     • $a'$, que es paralela a $a$.
     • $b'$, que es paralela a $b$.

3. Encontrar las intersecciones:

   • La recta $a$ se cruza con la recta $b'$. Llamemos a este punto de intersección $B$.
   • La recta $b$ se cruza con la recta $a'$. Llamemos a este punto de intersección $C$.

4. Dibujar la recta que pasa por $P$ y que une $B$ y $C$:

   • Trazamos la recta $BC$. Por construcción, esta recta pasa por el punto $P$ y es la que buscamos.

Demostración:

• Los puntos $B$ y $C$ son equidistantes de $P$ por la simetría de la construcción. Como $A'$ es el reflejo de $A$ con respecto a $P$, las paralelas a los lados del ángulo trazadas desde $A'$ garantizan que $B$ y $C$ sean los puntos correspondientes a cada lado que están a la misma distancia de $P$.

• Esto se debe a que el reflejo asegura que cualquier línea que pasa por $P$ y corta las rectas paralelas lo hace de manera que los segmentos $PB$ y $PC$ son congruentes, cumpliendo con la condición de que $PB = PC$.

Dibujo del procedimiento:

Lamentablemente, no puedo dibujar directamente en este momento, pero aquí tienes la guía para hacerlo:

1. Dibuja el ángulo con vértice $A$ y lados $a$ y $b$.
2. Marca un punto $P$ en el interior del ángulo.
3. Refleja $A$ a través de $P$ para obtener $A'$.
4. Traza las paralelas $a'$ y $b'$ a los lados $a$ y $b$ respectivamente desde $A'$.
5. Marca los puntos de intersección $B$ y $C$ como se indicó anteriormente, y dibuja la recta que los une.

¿Te gustaría que revisemos otro problema o necesitas detalles adicionales sobre la demostración? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Por qué el reflejo de $A$ respecto a $P$ garantiza que $PB = PC$?
2. ¿Qué ocurriría si $P$ estuviera en el borde del ángulo en lugar de su interior?
3. ¿Cómo se demostraría que las paralelas a $a$ y $b$ desde $A'$ producen la simetría requerida?
4. ¿Hay alguna otra manera de construir la misma recta sin usar simetría?
5. ¿Cómo podemos comprobar que $B$ y $C$ son los puntos correctos?

Tip: Al reflejar un punto respecto a otro, es clave mantener la misma distancia y dirección opuesta para garantizar la simetría necesaria en las construcciones geométricas.