Tässä tehtävässä analysoidaan molemmista päistään jäykästi tuetun sauvan vetojäykkyyden ja lämpötilan vaikutuksia normaalivoimaan käyttäen Galerkinin menetelmää. Ratkaisu koostuu useista vaiheista, joiden avulla muodostetaan reuna-arvotehtävä ja sen heikko muoto. Seuraavassa käsitellään nämä vaiheet.

1. Reuna-arvotehtävä

Voimatasapaino

Voimatasapainossa aksiaalinen normaalivoima $N(x)$ ja aksiaalinen siirtymä $u(x)$ liittyvät vetojäykkyyteen $EA(x)$. Voimatasapainon differentiaaliyhtälö voidaan ilmaista seuraavasti:

$\frac{d}{dx} \left( EA(x) \frac{du(x)}{dx} \right) = 0$

Tässä $EA(x)$ on vetojäykkyys, joka vaihtelee sauvan pituuden mukaan.

Materiaalimalli

Materiaalimallissa normaalivoima $N(x)$ on liitetty aksiaaliseen siirtymään $u(x)$ ja vetojäykkyyteen $EA(x)$:

$N(x) = EA(x) \frac{du(x)}{dx}$

Vetojäykkyyden $EA(x)$ arvo annetaan tehtävässä muodossa:

$EA(x) = 20000(1 + \frac{x}{5 \, \text{m}}) \, \text{kN}$

Lämpölaajeneminen

Sauvan lämpöpitenemiskerroin on annettu $\alpha = 20 \times 10^{-6} \, \text{°C}^{-1}$, ja lämpötilan muutos vaikuttaa sauvan pituuden muutokseen. Lämpötilan vaikutus normaalivoimaan voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$\Delta T = T_0 - T$

$N(x) = EA(x) \alpha \Delta T$

Reunaehdot

Koska sauva on jäykästi tuettu molemmista päistä, siirtymä $u(x)$ on nolla molemmissa päissä:

• $u(0) = 0$ (vasemman päädyn siirtymä)
• $u(L) = 0$ (oikean päädyn siirtymä)

2. Reuna-arvotehtävän heikko muoto

Galerkinin menetelmässä heikko muoto saadaan kertomalla voimatasapainon yhtälö painofunktiolla $w(x)$ ja integroimalla koko alueella [0, L]. Tällöin yhtälöksi saadaan:

$\int_0^L w(x) \frac{d}{dx} \left( EA(x) \frac{du(x)}{dx} \right) dx = 0$

Integraation osittainen purkaminen

Osittaisintegroimalla ja hyödyntämällä reunaehtoja (siirtymä on nolla päissä), yhtälö voidaan muotoilla seuraavasti:

$\int_0^L EA(x) \frac{du(x)}{dx} \frac{dw(x)}{dx} dx = \int_0^L EA(x) \alpha (T_0 - T) w(x) dx$

Tämä on reuna-arvotehtävän heikko muoto.

3. Lopullinen muoto

Sauvan normaalivoiman lopullinen muoto on:

$N(x) = EA(x) \alpha (T_0 - T)$

Lasketaan se seuraavilla arvoilla:

• $\alpha = 20 \times 10^{-6} \, \text{°C}^{-1}$
• $T_0 = 24 \, \text{°C}$
• $T = 10 \, \text{°C}$
• $EA(x) = 20000(1 + \frac{x}{5}) \, \text{kN}$

Lopullinen normaalivoiman muoto $N(x)$ on siten:

$N(x) = 20000(1 + \frac{x}{5}) \times 20 \times 10^{-6} \times (24 - 10) = 28000(1 + \frac{x}{5}) \, \text{kN}$

Yhteenveto:

1. Voimatasapainon yhtälö: $\frac{d}{dx} \left( EA(x) \frac{du(x)}{dx} \right) = 0$
2. Reunaehdot: $u(0) = 0$, $u(L) = 0$
3. Heikon muodon yhtälö: $\int_0^L EA(x) \frac{du}{dx} \frac{dw}{dx} dx = \int_0^L EA(x) \alpha \Delta T w(x) dx$
4. Lopullinen muoto normaalivoimalle: $N(x) = 28000(1 + \frac{x}{5}) \, \text{kN}$

Lisäkysymykset:

1. Miten Galerkinin menetelmä eroaa muista numeerisista menetelmistä?
2. Miten sauvan lämpötilamuutoksen suuruus vaikuttaa normaalivoimaan?
3. Kuinka vetojäykkyyden lineaarinen muutos vaikuttaa siirtymän laskemiseen?
4. Miksi sauva on jäykästi tuettu molemmista päistä?
5. Miten eri lämpöpitenemiskertoimet vaikuttaisivat ratkaisuun?

Vinkki: Galerkinin menetelmässä valittu painofunktio voidaan usein valita sama kuin siirtymäfunktio, mikä yksinkertaistaa laskelmia.