Die Aufgabe lautet (zusammengefasst):

1. Die Parabel $p_1$ hat die Gleichung $y = x^2 - 4x$.
2. Die Parabel $p_2$ hat einen Scheitelpunkt $S(-3, 1)$.
3. Der Schnittpunkt $Q$ der beiden Parabeln ist der Scheitelpunkt einer neuen Parabel $p_3$.

Ziel: Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel $p_3$ in Normalform.

Schritt-für-Schritt-Lösung:

1. Funktionsgleichung von $p_1$:

Die gegebene Parabel ist $p_1(x) = x^2 - 4x$.
Um sie in Scheitelpunktform umzuwandeln, wenden wir die quadratische Ergänzung an:

$p_1(x) = x^2 - 4x \quad \text{ergänze: } (-\frac{4}{2})^2 = 4$

$p_1(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$

Scheitelpunkt von $p_1$: $S_1(2, -4)$.

2. Funktionsgleichung von $p_2$:

Die Scheitelpunktform lautet: $p_2(x) = a(x + 3)^2 + 1$ $a$ ist ein unbekannter Stauchungs-/Streckungsfaktor, der noch zu bestimmen ist.

Da $p_2$ „nach oben geöffnet“ ist, ist $a > 0$. Ohne weitere Informationen nehmen wir zunächst an, dass $a = 1$ ist: $p_2(x) = (x + 3)^2 + 1$

3. Schnittpunkte von $p_1$ und $p_2$:

Um den Schnittpunkt $Q$ zu bestimmen, setzen wir $p_1(x) = p_2(x)$: $x^2 - 4x = (x + 3)^2 + 1$

Rechne aus: $x^2 - 4x = x^2 + 6x + 9 + 1$ $-4x = 6x + 10$ $-10x = 10 \quad \implies \quad x = -1$

Setze $x = -1$ in eine der beiden Parabeln ein (z. B. $p_1(x)$): $p_1(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

Der Schnittpunkt $Q$ ist also: $Q(-1, 5)$

4. Funktionsgleichung von $p_3$:

Die Parabel $p_3$ hat ihren Scheitelpunkt bei $Q(-1, 5)$. Ihre Gleichung lautet: $p_3(x) = a(x + 1)^2 + 5$

Da $a$ nicht vorgegeben ist, nehmen wir zunächst $a = 1$ an: $p_3(x) = (x + 1)^2 + 5$

Umwandlung in Normalform: $p_3(x) = (x^2 + 2x + 1) + 5 = x^2 + 2x + 6$

Endergebnis:

Die Funktionsgleichung von $p_3$ in Normalform ist: $p_3(x) = x^2 + 2x + 6$

Haben Sie dazu Fragen oder möchten Sie mehr Details zu einem bestimmten Schritt?

5 Verwandte Fragen:

1. Was ist die allgemeine Methode zur Bestimmung von Schnittpunkten zweier Parabeln?
2. Wie berechnet man den Scheitelpunkt einer beliebigen quadratischen Funktion?
3. Was bedeutet der Parameter $a$ in der Parabelgleichung und wie beeinflusst er die Form?
4. Wie überprüft man, ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist?
5. Wie bestimmt man die Normalform aus der Scheitelpunktform?

Tipp: Beim Arbeiten mit quadratischen Gleichungen hilft die Scheitelpunktform oft, geometrische Eigenschaften der Parabel schnell zu erkennen.