Dari gambar yang diberikan, terdapat dua contoh yang melibatkan fungsi dan komposisi fungsi. Untuk menyelesaikan kedua soal ini dengan cara mencari graf dan matriksnya, mari kita bahas secara rinci:

Contoh 45

Diberikan fungsi-fungsi:

1. $B^* = \{(1, u), (2, v), (3, w)\}$, yang memetakan $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{u, v, w\}$.
2. Fungsi $f = \{(1, u), (2, v), (3, w)\}$, yang memetakan $B = \{u, v, w\}$ ke $C = \{x, y, z\}$.
3. Fungsi komposisi dari $A$ ke $C$ adalah $f \circ g = \{(1, x), (2, y), (3, z)\}$.

Langkah-langkah:

• Dari fungsi-fungsi yang diberikan, kita bisa menggambarkan graf dari masing-masing fungsi.

  Graf $f \circ g$:

  • Setiap elemen dari $A$ (domain) dipetakan melalui dua tahap. Pertama ke $B$, kemudian ke $C$.
  • Jadi, hasil komposisi $f \circ g$ langsung memetakan elemen dari $A$ ke elemen di $C$.

  Matriks Representasi:

  • Matriks representasi untuk komposisi $f \circ g$ dapat disusun dengan cara memetakan setiap pasangan $(a, c)$ di mana $a \in A$ dan $c \in C$.
  • Misalnya, kita bisa menggunakan matriks biner $M_{f \circ g}$, di mana $M_{ij} = 1$ jika $a_i$ dari $A$ dipetakan ke $c_j$ dari $C$.

Contoh 46

Diberikan fungsi:

• $f(x) = x + 1$ dan $g(x) = x^2 + 1$.

Diminta untuk menentukan $f \circ g$ dan $g \circ f$.

Langkah-langkah:

1. $f \circ g$: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = (x^2 + 1) + 1 = x^2 + 2.$
2. $g \circ f$: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 2.$

Matriks Representasi:

• Matriks representasi untuk $f(x) = x + 1$ dan $g(x) = x^2 + 1$ dapat dibuat berdasarkan relasi input-output dari masing-masing fungsi.

Kesimpulan

• Contoh 45: Fungsi komposisi dari $A$ ke $C$ menghasilkan graf yang menghubungkan langsung setiap elemen di $A$ dengan elemen di $C$, tanpa harus melalui $B$. Matriks komposisi $f \circ g$ adalah matriks biner.
• Contoh 46: Fungsi komposisi $f \circ g$ dan $g \circ f$ dapat direpresentasikan dalam bentuk graf dengan dua langkah pemetaan, dan juga dapat disusun matriks representasinya.

Apakah Anda ingin melihat detail lebih lanjut tentang langkah-langkah ini, atau ada bagian tertentu yang ingin diperjelas?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menyusun matriks dari suatu fungsi komposisi?
2. Apakah mungkin untuk menggambarkan graf dari komposisi fungsi yang lebih kompleks?
3. Apa perbedaan utama antara $f \circ g$ dan $g \circ f$ dalam representasi matriks?
4. Bagaimana cara mengidentifikasi domain dan kodomain suatu fungsi dari graf?
5. Apakah ada cara lain untuk menentukan komposisi fungsi tanpa menggunakan graf?

Tip: Saat bekerja dengan fungsi komposisi, selalu identifikasi domain dan kodomainnya terlebih dahulu agar lebih mudah memetakan input ke output yang sesuai.