Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x), заданную на
интервале — периоде.
2. Построить график заданной функции f (x).
3. Выписать первую гармонику разложения в ряд Фурье и построить её график.
f (x) = x^2 в интервале (0, π) разложить
в ряд косинусов

Для того чтобы разложить функцию \( f(x) = x^2 \) на интервале \( (0, \pi) \) в ряд Фурье, будем использовать разложение в ряд косинусов, поскольку функция чётная. 

### 1. Разложение функции в ряд Фурье (косинусное):

Для разложения в ряд Фурье вида:

\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx),
\]

где коэффициенты \( a_n \) вычисляются по формуле:

\[
a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx,
\]

а \( a_0 \) — это среднее значение функции на интервале:

\[
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx.
\]

### 2. Вычисление коэффициентов:

#### Коэффициент \( a_0 \):

\[
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \, dx.
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
\int_0^\pi x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^\pi = \frac{\pi^3}{3}.
\]

Таким образом,

\[
a_0 = \frac{2}{\pi} \times \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}.
\]

#### Коэффициент \( a_n \):

Теперь находим коэффициенты \( a_n \):

\[
a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx.
\]

Этот интеграл можно вычислить с помощью метода интегрирования по частям или использовать таблицы интегралов. Результат для \( a_n \) будет:

\[
a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}.
\]

### 3. Общая форма разложения:

Таким образом, разложение функции \( f(x) = x^2 \) в ряд Фурье на интервале \( (0, \pi) \) будет:

\[
f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx).
\]

### 4. График функции \( f(x) = x^2 \):

График функции \( f(x) = x^2 \) на интервале \( (0, \pi) \) — это просто парабола, ограниченная этим интервалом.

### 5. Первая гармоника разложения:

Первая гармоника (для \( n = 1 \)) будет:

\[
a_1 = \frac{4(-1)^1}{1^2} = -4.
\]

Соответственно, первая гармоника будет:

\[
f_1(x) = -4 \cos(x).
\]

### 6. Построение графика первой гармоники:

График функции первой гармоники \( f_1(x) = -4 \cos(x) \) будет представлять собой косинусоиду, умноженную на \( -4 \).

---

Хотите, чтобы я построил графики для \( f(x) = x^2 \) и для первой гармоники? Или есть другие вопросы? 

Вот несколько вопросов для дальнейшего обсуждения:
1. Как вычисляются другие коэффициенты ряда Фурье для более сложных функций?
2. Что такое сходимость ряда Фурье?
3. Какую роль играют разные гармоники в разложении функции?
4. Как использовать разложение Фурье для приближённого представления функций?
5. Почему используется только косинусное разложение для чётных функций?

**Совет:** При разложении функции в ряд Фурье важно понимать, какие функции требуют синусных и косинусных членов, что связано с их симметрией.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале — периоде. Построить график заданной функции f(x). Выписать первую гармонику разложения в ряд Фурье и построить её график. f(x) = x^2 в интервале (0, π) разложить в ряд косинусов

Learn how to decompose the periodic function f(x) = x^2 into its Fourier cosine series on the interval (0, π). This step-by-step solution includes calculating Fourier coefficients, deriving the first harmonic, and plotting the graphs of the function and its first harmonic. Ideal for high school students studying advanced mathematics or Fourier analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation