Дана последовательность, заданная рекуррентно:

1. $x_1 = 2$
2. $x_n = 3x_{n-1}$, если $n = 2, 3, 4, \dots$

Мы ищем явную формулу для $x_n$.

Пошаговое решение:

1. Начнем с вычисления первых нескольких членов:

   • $x_1 = 2$
   • $x_2 = 3x_1 = 3 \cdot 2 = 6$
   • $x_3 = 3x_2 = 3 \cdot 6 = 18$
   • $x_4 = 3x_3 = 3 \cdot 18 = 54$

2. Общий вид последовательности: Рассмотрим закономерность: $x_n = 3^{n-1} \cdot x_1$ Подставляем $x_1 = 2$: $x_n = 3^{n-1} \cdot 2$

3. Проверка:

   • Для $n = 1$: $x_1 = 3^{1-1} \cdot 2 = 2$ (совпадает).
   • Для $n = 2$: $x_2 = 3^{2-1} \cdot 2 = 6$ (совпадает).
   • Для $n = 3$: $x_3 = 3^{3-1} \cdot 2 = 18$ (совпадает).
   • Для $n = 4$: $x_4 = 3^{4-1} \cdot 2 = 54$ (совпадает).

Итог:

Формула $n$-го члена последовательности: $x_n = 2 \cdot 3^{n-1}, \, n \geq 1$

---

Хотите узнать больше о построении формул? Вот 5 вопросов для углубления:

1. Что такое рекуррентные последовательности и чем они отличаются от явных формул?
2. Как можно преобразовать другие типы рекуррентных формул в явные?
3. Влияет ли выбор первого члена последовательности на её поведение?
4. Как связаны рекуррентные последовательности с геометрическими прогрессиями?
5. Какие методы полезны для доказательства правильности найденной формулы?

Совет: При работе с рекуррентными последовательностями полезно исследовать поведение первых нескольких членов, чтобы выявить закономерность.