Lad os løse opgaven vedrørende $y_B$ baseret på den givne grafik og oplysninger.

Givet:

1. Funktionen $f(x) = -\frac{1}{2}x + 9$.
2. Grafen for funktionerne $f$ og $g$ skærer hinanden i punktet $A$ ved $x = 4$.
3. Punktet $B$ har koordinaterne $(2, y_B)$, og grafen for $g(x)$ går gennem dette punkt.

a) Find funktionsforskriften for $g(x)$

Vi ved, at grafen $g(x)$ skærer $f(x)$ i punktet $A$ ved $x = 4$. Først finder vi $y$-værdien for dette punkt på $f$:

$f(4) = -\frac{1}{2}(4) + 9 = -2 + 9 = 7$ Altså er punktet $A(4, 7)$.

Nu skal vi finde forskriften for $g(x)$. Da vi har to punkter på linjen $g(x)$, nemlig $B(2, y_B)$ og $A(4, 7)$, kan vi finde hældningen $m_g$ af linjen $g(x)$ med hældningsformlen:

$m_g = \frac{7 - y_B}{4 - 2} = \frac{7 - y_B}{2}$

Da vi har hældningen og ét punkt $(A)$, kan vi skrive ligningen for $g(x)$ i hældningsform:

$g(x) = m_g(x - 4) + 7$

Dette er forskriften for $g(x)$, men vi har endnu ikke bestemt $y_B$.

b) Find $y_B$

Da punktet $B(2, y_B)$ ligger på linjen $f(x)$, kan vi finde $y_B$ ved at sætte $x = 2$ ind i $f(x)$:

$f(2) = -\frac{1}{2}(2) + 9 = -1 + 9 = 8$

Punktet $B(2, y_B)$ ligger altså også på grafen for $f(x)$, så $y_B = 8$.

Konklusion

• a) Funktionsforskriften for $g(x)$ er endnu ikke fuldstændig, men vi kan finde den, hvis vi kender $y_B$.
• b) $y_B = 8$.

Vil du have flere detaljer eller gennemgå de enkelte trin nærmere?

Her er nogle relaterede spørgsmål:

1. Hvordan finder man forskriften for en linje, når man kender to punkter?
2. Hvad er sammenhængen mellem hældningen og skæring i en lineær funktion?
3. Hvordan finder man skæringspunktet mellem to grafer?
4. Hvad er betydningen af hældningen i en lineær funktion?
5. Hvordan bruger man punkters koordinater til at løse ligninger?

Tip: Når man har to punkter på en linje, er hældningsformlen en nøgle til at finde linjens forskrift.