Bài toán yêu cầu:

Xét mặt cong $z = 2x^2 + y^2$.

a. Mặt phẳng $y = 3$ cắt mặt cong theo một đường cong. Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại $x = 2$.

1. Xác định đường cong cắt:
   Khi $y = 3$, mặt cong trở thành phương trình một biến: $z = 2x^2 + 3^2 = 2x^2 + 9$ Vậy đường cong cắt mặt phẳng $y = 3$ là $z = 2x^2 + 9$, hay có thể viết lại là: $z = 2x^2 + 9$

2. Tìm đạo hàm của phương trình này:
   Để tìm phương trình tiếp tuyến tại $x = 2$, ta cần tính đạo hàm của $z$ theo $x$. Đạo hàm này sẽ cho ta độ dốc của đường tiếp tuyến. $\frac{dz}{dx} = 4x$ Khi $x = 2$, ta có: $\frac{dz}{dx} = 4 \times 2 = 8$

3. Tính tọa độ tại $x = 2$:
   Khi $x = 2$, ta tính giá trị của $z$: $z = 2(2^2) + 9 = 8 + 9 = 17$ Vậy tọa độ điểm tiếp xúc là $(2, 3, 17)$.

4. Phương trình tiếp tuyến:
   Phương trình tiếp tuyến tại $x = 2$ sẽ có dạng: $z - z_0 = m(x - x_0)$ Trong đó, $m = 8$ (độ dốc), và $(x_0, z_0) = (2, 17)$. Do đó, phương trình tiếp tuyến là: $z - 17 = 8(x - 2)$ Tương đương với: $z = 8x + 1$

b. Mặt phẳng $x = 2$ cắt mặt cong theo một đường cong. Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc cho đường cong tại $y = 3$.

1. Xác định đường cong cắt:
   Khi $x = 2$, mặt cong trở thành phương trình một biến: $z = 2(2^2) + y^2 = 8 + y^2$ Vậy đường cong cắt mặt phẳng $x = 2$ là $z = 8 + y^2$.

2. Tìm đạo hàm của phương trình này:
   Để tìm phương trình tiếp tuyến tại $y = 3$, ta cần tính đạo hàm của $z$ theo $y$. Đạo hàm này sẽ cho ta độ dốc của đường tiếp tuyến: $\frac{dz}{dy} = 2y$ Khi $y = 3$, ta có: $\frac{dz}{dy} = 2 \times 3 = 6$

3. Tính tọa độ tại $y = 3$:
   Khi $y = 3$, ta tính giá trị của $z$: $z = 8 + 3^2 = 8 + 9 = 17$ Vậy tọa độ điểm tiếp xúc là $(2, 3, 17)$.

4. Phương trình tiếp tuyến:
   Phương trình tiếp tuyến tại $y = 3$ sẽ có dạng: $z - z_0 = m(y - y_0)$ Trong đó, $m = 6$ (độ dốc), và $(y_0, z_0) = (3, 17)$. Do đó, phương trình tiếp tuyến là: $z - 17 = 6(y - 3)$ Tương đương với: $z = 6y + 5$

---

Tổng kết:

• a. Phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại $x = 2$ khi $y = 3$ là $z = 8x + 1$.
• b. Phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại $y = 3$ khi $x = 2$ là $z = 6y + 5$.

Bạn có muốn giải thích chi tiết thêm về các bước hoặc có câu hỏi nào khác không?

Các câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để tính đạo hàm của một hàm nhiều biến tại một điểm cụ thể?
2. Sự khác biệt giữa tiếp tuyến của đường cong trong không gian và tiếp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng là gì?
3. Tại sao cần sử dụng đạo hàm để xác định độ dốc của tiếp tuyến?
4. Làm thế nào để xác định đường cong cắt mặt phẳng trong bài toán này?
5. Trong trường hợp khác, nếu x, y hoặc z thay đổi, cách giải quyết bài toán này có thay đổi như thế nào?

Mẹo: Để tìm phương trình tiếp tuyến, nhớ rằng bạn luôn cần biết tọa độ điểm tiếp xúc và độ dốc tại điểm đó (được tính thông qua đạo hàm).