Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $n^3 + 1$ chia hết cho $22023$. Nghĩa là ta cần tìm các $n$ thỏa mãn:

$n^3 + 1 \equiv 0 \pmod{22023}$ Tức là: $n^3 \equiv -1 \pmod{22023}$

Bước 1: Phân tích 22023

Trước tiên, ta phân tích $22023$ thành các thừa số nguyên tố. Ta thực hiện phép chia để tìm các thừa số nguyên tố của $22023$.

$22023 \div 3 = 7341$

$7341 \div 3 = 2447$

$2447 \div 7 = 349$

Vậy ta có:

$22023 = 3^2 \times 7 \times 349$

Bước 2: Tìm điều kiện chia hết modulo các yếu tố của 22023

Ta cần giải phương trình $n^3 + 1 \equiv 0 \pmod{22023}$. Để làm điều này, ta sẽ giải phương trình này trên các modulo của $3^2$, $7$, và $349$ rồi sử dụng định lý Trung bình Trung tâm Trung gian (Chinese Remainder Theorem) để tìm nghiệm chung.

2.1. Modulo $3^2$

Phương trình là: $n^3 \equiv -1 \pmod{9}$ Ta thử các giá trị của $n \mod 9$:

• $0^3 \equiv 0 \pmod{9}$
• $1^3 \equiv 1 \pmod{9}$
• $2^3 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$
• $3^3 \equiv 27 \equiv 0 \pmod{9}$
• $4^3 \equiv 64 \equiv 1 \pmod{9}$
• $5^3 \equiv 125 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$
• $6^3 \equiv 216 \equiv 0 \pmod{9}$
• $7^3 \equiv 343 \equiv 1 \pmod{9}$
• $8^3 \equiv 512 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$

Ta thấy rằng các giá trị của $n \mod 9$ thỏa mãn là $n \equiv 2, 5, 8 \pmod{9}$.

2.2. Modulo $7$

Phương trình là: $n^3 \equiv -1 \pmod{7}$ Ta thử các giá trị của $n \mod 7$:

• $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$
• $3^3 \equiv 27 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$
• $4^3 \equiv 64 \equiv 1 \pmod{7}$
• $5^3 \equiv 125 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$
• $6^3 \equiv 216 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$

Ta thấy các giá trị của $n \mod 7$ thỏa mãn là ( n \equiv 3, 5, 6 \p