Найдите точку максимума функии y= $$ x^3 $$ - 48х +19.

Чтобы найти точку максимума функции $ y = x^3 - 48x + 19 $, нужно выполнить несколько шагов:

### 1. Найдем первую производную функции:
Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

\[
y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 48x + 19)
\]
\[
y' = 3x^2 - 48
\]

### 2. Найдем критические точки:
Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

\[
3x^2 - 48 = 0
\]

Решаем это уравнение:

\[
3x^2 = 48
\]
\[
x^2 = 16
\]
\[
x = \pm 4
\]

Таким образом, критические точки — это $ x = 4 $ и $ x = -4 $.

### 3. Определим, где максимумы, а где минимумы:
Для этого нужно найти вторую производную функции:

\[
y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 48) = 6x
\]

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

- Для $ x = 4 $:
\[
y''(4) = 6(4) = 24 \quad (\text{положительное значение, значит это минимум})
\]

- Для $ x = -4 $:
\[
y''(-4) = 6(-4) = -24 \quad (\text{отрицательное значение, значит это максимум})
\]

### 4. Найдем значение функции в точке максимума:
Теперь подставим $ x = -4 $ в исходную функцию:

\[
y(-4) = (-4)^3 - 48(-4) + 19
\]
\[
y(-4) = -64 + 192 + 19 = 147
\]

Таким образом, точка максимума — это $ (-4, 147) $.

### Ответ:
Точка максимума функции $ y = x^3 - 48x + 19 $ находится в точке $ (-4, 147) $.

Если вам нужно больше подробностей или есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!

---

**5 дополнительных вопросов для дальнейшего изучения:**

1. Как можно найти точки перегиба функции?
2. Как работает метод нахождения экстремумов с использованием второй производной?
3. Как изменить коэффициенты функции, чтобы точка максимума изменилась?
4. Как использовать первый производный тест для нахождения экстремумов?
5. Что будет, если мы возьмем функцию с более высокими степенями, например, $ y = x^4 - 48x^2 + 19 $?

**Совет:** всегда проверяйте знак второй производной в критических точках, чтобы точно определить, является ли точка максимумом или минимумом.

Найдите точку максимума функции y= $$ x^3 $$ - 48х +19.

Learn how to find the maximum point of the function y = x^3 - 48x + 19 by applying first and second derivative tests. This step-by-step solution explains how to find critical points, determine maximum and minimum values, and calculate the corresponding function value. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation