Math Problem Statement

Найдите точку максимума функии y= x3x^3 - 48х +19.

Solution

Чтобы найти точку максимума функции y=x348x+19y = x^3 - 48x + 19, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем первую производную функции:

Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

y=ddx(x348x+19)y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 48x + 19) y=3x248y' = 3x^2 - 48

2. Найдем критические точки:

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

3x248=03x^2 - 48 = 0

Решаем это уравнение:

3x2=483x^2 = 48 x2=16x^2 = 16 x=±4x = \pm 4

Таким образом, критические точки — это x=4x = 4 и x=4x = -4.

3. Определим, где максимумы, а где минимумы:

Для этого нужно найти вторую производную функции:

y=ddx(3x248)=6xy'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 48) = 6x

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

  • Для x=4x = 4: y(4)=6(4)=24(положительное значение, значит это минимум)y''(4) = 6(4) = 24 \quad (\text{положительное значение, значит это минимум})

  • Для x=4x = -4: y(4)=6(4)=24(отрицательное значение, значит это максимум)y''(-4) = 6(-4) = -24 \quad (\text{отрицательное значение, значит это максимум})

4. Найдем значение функции в точке максимума:

Теперь подставим x=4x = -4 в исходную функцию:

y(4)=(4)348(4)+19y(-4) = (-4)^3 - 48(-4) + 19 y(4)=64+192+19=147y(-4) = -64 + 192 + 19 = 147

Таким образом, точка максимума — это (4,147)(-4, 147).

Ответ:

Точка максимума функции y=x348x+19y = x^3 - 48x + 19 находится в точке (4,147)(-4, 147).

Если вам нужно больше подробностей или есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!


5 дополнительных вопросов для дальнейшего изучения:

  1. Как можно найти точки перегиба функции?
  2. Как работает метод нахождения экстремумов с использованием второй производной?
  3. Как изменить коэффициенты функции, чтобы точка максимума изменилась?
  4. Как использовать первый производный тест для нахождения экстремумов?
  5. Что будет, если мы возьмем функцию с более высокими степенями, например, y=x448x2+19y = x^4 - 48x^2 + 19?

Совет: всегда проверяйте знак второй производной в критических точках, чтобы точно определить, является ли точка максимумом или минимумом.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
First Derivative
Second Derivative
Critical Points
Extrema

Formulas

y' = 3x^2 - 48
y'' = 6x
x^3 - 48x + 19

Theorems

First Derivative Test
Second Derivative Test

Suitable Grade Level

Grades 11-12