Чтобы найти точку максимума функции $y = x^3 - 48x + 19$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем первую производную функции:

Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

$y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 48x + 19)$ $y' = 3x^2 - 48$

2. Найдем критические точки:

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

$3x^2 - 48 = 0$

Решаем это уравнение:

$3x^2 = 48$ $x^2 = 16$ $x = \pm 4$

Таким образом, критические точки — это $x = 4$ и $x = -4$.

3. Определим, где максимумы, а где минимумы:

Для этого нужно найти вторую производную функции:

$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 48) = 6x$

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

• Для $x = 4$: $y''(4) = 6(4) = 24 \quad (\text{положительное значение, значит это минимум})$

• Для $x = -4$: $y''(-4) = 6(-4) = -24 \quad (\text{отрицательное значение, значит это максимум})$

4. Найдем значение функции в точке максимума:

Теперь подставим $x = -4$ в исходную функцию:

$y(-4) = (-4)^3 - 48(-4) + 19$ $y(-4) = -64 + 192 + 19 = 147$

Таким образом, точка максимума — это $(-4, 147)$.

Ответ:

Точка максимума функции $y = x^3 - 48x + 19$ находится в точке $(-4, 147)$.

Если вам нужно больше подробностей или есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!

---

5 дополнительных вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как можно найти точки перегиба функции?
2. Как работает метод нахождения экстремумов с использованием второй производной?
3. Как изменить коэффициенты функции, чтобы точка максимума изменилась?
4. Как использовать первый производный тест для нахождения экстремумов?
5. Что будет, если мы возьмем функцию с более высокими степенями, например, $y = x^4 - 48x^2 + 19$?

Совет: всегда проверяйте знак второй производной в критических точках, чтобы точно определить, является ли точка максимумом или минимумом.