関数 $y = 8 + 3x - x^2$ の最大値と最小値を求めるには、まず頂点を求めます。この関数は下に凸の放物線であるため、最大値を持つ点が存在します。

1. 関数の式
   $y = -x^2 + 3x + 8$ によって、二次関数の標準形は $y = -x^2 + 3x + 8$ です。

2. 頂点の $x$ 座標を求める
   二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点の $x$ 座標は、$x = -\frac{b}{2a}$ で与えられます。この場合、$a = -1$ および $b = 3$ なので、
   $x = -\frac{3}{2 \times (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$

3. 頂点の $y$ 座標を求める
   $x = 1.5$ を元の式に代入して、$y$ の値を求めます。 $y = 8 + 3 \times 1.5 - (1.5)^2$ 計算すると、 $y = 8 + 4.5 - 2.25 = 10.25$

したがって、最大値は 10.25 で、このとき $x = 1.5$ です。

この関数の定義域が無限大の範囲にある場合（すべての実数）、最小値は存在しません（無限に小さくなる）。この二次関数は下に凸のため、無限に下に広がるからです。

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ご質問や他の計算が必要ですか？以下に関連した問題を挙げます。

1. 頂点が与えられた場合の最大・最小値の確認方法について。
2. 三次関数の最大・最小値を求める方法。
3. 微分を使って最大・最小値を求める手法について。
4. 頂点を求める他の方法（平方完成法）について。
5. 定義域が制限された場合の最大・最小値の求め方について。

Tip: 二次関数の最大・最小は、頂点が下に凸か上に凸かで変わりますので、二次項の符号に注目しましょう。