برای حل این مسئله، به فرضیات و تحلیل حد داده شده توجه می‌کنیم:

اطلاعات اولیه:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 5$

این به این معناست که وقتی $x$ به صفر نزدیک می‌شود، $f(x)$ تقریباً به صورت زیر رفتار می‌کند: $f(x) \sim 5x^2$

1. محاسبه $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$:

با فرض اینکه $f(x) \sim 5x^2$: $\frac{f(x)}{x} = \frac{5x^2}{x} = 5x$

پس: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} 5x = 0$

2. محاسبه $\lim_{x \to 0} f(x)$:

دوباره با توجه به تقریب $f(x) \sim 5x^2$، وقتی $x \to 0$، واضح است: $f(x) \to 0$

بنابراین: $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$

---

جواب نهایی:

1. $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$
2. $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$

نکته:

همیشه ابتدا نوع همگرایی و رفتار تابع در حد داده‌شده را تحلیل کنید تا بتوانید روابط دقیق‌تر را برای محاسبات دیگر پیدا کنید.

سوالات مرتبط:

1. آیا می‌توانید یک تابع نمونه‌ای برای $f(x)$ ارائه دهید که شرایط مسئله را برآورده کند؟
2. اگر $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} = 0$، رفتار $f(x)$ چگونه خواهد بود؟
3. چرا $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ به 0 نزدیک می‌شود؟
4. چه شرایطی باعث می‌شود $\lim_{x \to 0} f(x)$ برابر با مقداری غیر از صفر باشد؟
5. اگر مقدار $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ به جای 5 برابر با $c$ (یک ثابت دیگر) بود، چه تغییری در جواب‌ها ایجاد می‌شد؟

یک نکته:

همیشه از تقریب‌های اولیه $f(x)$ بر اساس حد داده‌شده استفاده کنید تا بتوانید رفتارهای دیگر تابع را تحلیل کنید.