4. Diketahui f(x) = x²-2x-5 dan g(x) = x + 2. Tentukan: a. invers fungsi h

Untuk menentukan **invers fungsi** dari suatu fungsi, kita harus menukar variabel \( x \) dengan variabel \( y \), lalu menyelesaikan \( x \) sebagai fungsi dari \( y \). Namun, pertanyaan ini kurang jelas karena fungsi \( h \) belum didefinisikan. Saya menduga bahwa fungsi \( h(x) \) mungkin merupakan komposisi dari \( f(x) \) dan \( g(x) \), yaitu \( h(x) = f(g(x)) \) atau sebaliknya.

Mari kita coba kedua kemungkinan:

### 1. Jika \( h(x) = f(g(x)) \):
- Fungsi \( f(x) = x^2 - 2x - 5 \)
- Fungsi \( g(x) = x + 2 \)

\[
h(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = (x + 2)^2 - 2(x + 2) - 5
\]

Langkah perhitungannya:
\[
h(x) = (x^2 + 4x + 4) - (2x + 4) - 5
\]
\[
h(x) = x^2 + 4x + 4 - 2x - 4 - 5
\]
\[
h(x) = x^2 + 2x - 5
\]

Jadi, \( h(x) = x^2 + 2x - 5 \).

Sekarang, untuk mencari invers \( h^{-1}(x) \), kita lakukan langkah-langkah berikut:

1. Ganti \( h(x) \) dengan \( y \):
   \[
   y = x^2 + 2x - 5
   \]
2. Selesaikan untuk \( x \) dalam fungsi \( y \):
   \[
   x^2 + 2x - (y + 5) = 0
   \]
Ini adalah persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
dengan \( a = 1 \), \( b = 2 \), dan \( c = -(y + 5) \).

Mari hitung:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-(y + 5))}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(y + 5)}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4y + 20}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{24 + 4y}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6 + y}}{2}
\]
\[
x = -1 \pm \sqrt{6 + y}
\]

Jadi, invers dari fungsi \( h(x) \) adalah:
\[
h^{-1}(x) = -1 \pm \sqrt{6 + x}
\]

Karena invers biasanya mengambil nilai positif, kita ambil:
\[
h^{-1}(x) = -1 + \sqrt{6 + x}
\]

### 2. Jika \( h(x) = g(f(x)) \):
- Fungsi \( f(x) = x^2 - 2x - 5 \)
- Fungsi \( g(x) = x + 2 \)

\[
h(x) = g(f(x)) = (x^2 - 2x - 5) + 2
\]
\[
h(x) = x^2 - 2x - 3
\]

Sekarang, untuk mencari invers \( h^{-1}(x) \):
1. Ganti \( h(x) \) dengan \( y \):
   \[
   y = x^2 - 2x - 3
   \]
2. Selesaikan untuk \( x \) dalam fungsi \( y \):
   \[
   x^2 - 2x - (y + 3) = 0
   \]
   Kita dapat menyelesaikan ini juga menggunakan rumus kuadrat.

Jika kamu ingin solusi lengkap untuk kedua skenario, atau ingin memilih salah satu dari komposisi fungsi, beri tahu saya!

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana cara menentukan domain dan range dari fungsi \( h(x) \)?
2. Apa saja sifat-sifat dari fungsi komposisi \( f(g(x)) \)?
3. Mengapa invers fungsi komposisi terkadang memiliki dua solusi?
4. Bagaimana pengaruh invers terhadap grafik suatu fungsi?
5. Apakah semua fungsi memiliki invers?

**Tip:** Saat menghitung invers suatu fungsi, pastikan fungsi tersebut bersifat bijektif (satu-ke-satu dan ke-ke).

Diketahui f(x) = x²-2x-5 dan g(x) = x + 2. Tentukan: a. invers fungsi h

Learn how to find the inverse of a composite function involving quadratic and linear functions. This detailed step-by-step solution explores the composition of functions, quadratic equations, and the properties of inverse functions. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation