برای یافتن ضابطه، دامنه و برد تابع وارون $f(x) = \sqrt{x} + 2$، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

---

1. یافتن ضابطه تابع وارون:

تابع $f(x)$ به صورت $f(x) = \sqrt{x} + 2$ داده شده است.
برای پیدا کردن تابع وارون $f^{-1}(x)$:

• ابتدا تابع را به صورت $y = \sqrt{x} + 2$ بازنویسی می‌کنیم:
  $y = \sqrt{x} + 2$
• $x$ و $y$ را جابه‌جا می‌کنیم:
  $x = \sqrt{y} + 2$
• معادله را بر حسب $y$ حل می‌کنیم:
  $\sqrt{y} = x - 2$ $y = (x - 2)^2$ بنابراین، ضابطه تابع وارون عبارت است از:
  $f^{-1}(x) = (x - 2)^2$

---

2. یافتن دامنه و برد تابع اصلی و وارون:

دامنه و برد تابع $f(x)$:

• دامنه تابع $f(x)$:
  چون تابع $f(x) = \sqrt{x} + 2$ شامل ریشه دوم است، باید $x \geq 0$ باشد.
  بنابراین:
  $D_f = [0, \infty)$

• برد تابع $f(x)$:
  چون $\sqrt{x} \geq 0$، داریم:
  $f(x) = \sqrt{x} + 2 \geq 2$ بنابراین:
  $R_f = [2, \infty)$

دامنه و برد تابع $f^{-1}(x)$:

برای تابع وارون:

• دامنه تابع وارون برابر با برد تابع اصلی است:
  $D_{f^{-1}} = [2, \infty)$
• برد تابع وارون برابر با دامنه تابع اصلی است:
  $R_{f^{-1}} = [0, \infty)$

---

پاسخ نهایی:

1. ضابطه تابع وارون:
   $f^{-1}(x) = (x - 2)^2$
2. دامنه تابع وارون:
   $D_{f^{-1}} = [2, \infty)$
3. برد تابع وارون:
   $R_{f^{-1}} = [0, \infty)$

---

سوالات مرتبط:

1. چرا دامنه و برد تابع اصلی و وارون جایگزین یکدیگر می‌شوند؟
2. اگر ضابطه تابع اصلی به جای $f(x) = \sqrt{x} + 2$، $f(x) = \sqrt{x} - 3$ بود، دامنه و برد چه تغییری می‌کرد؟
3. در چه حالتی تابع وارون وجود ندارد؟
4. چرا ضابطه تابع وارون در این حالت $(x - 2)^2$ است؟
5. آیا تابع وارون همیشه یکتا است؟ چرا؟

نکته:

برای اینکه یک تابع دارای وارون باشد، باید یک‌به‌یک (یک‌مقداری) باشد؛ یعنی هیچ دو مقدار $x_1$ و $x_2$ نباید یک مقدار یکسان برای تابع تولید کنند.