اگر $$ f\left(x\right)=\sqrt{x}+2 $$ باشد ضابطه و برد و دامنه تابع وارون f را بیابید

برای یافتن ضابطه، دامنه و برد تابع وارون $ f(x) = \sqrt{x} + 2 $، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:  

---

### 1. **یافتن ضابطه تابع وارون:**  
تابع $ f(x) $ به صورت $ f(x) = \sqrt{x} + 2 $ داده شده است.  
برای پیدا کردن تابع وارون $ f^{-1}(x) $:  
- ابتدا تابع را به صورت $ y = \sqrt{x} + 2 $ بازنویسی می‌کنیم:  
  \[
  y = \sqrt{x} + 2
  \]
- $ x $ و $ y $ را جابه‌جا می‌کنیم:  
  \[
  x = \sqrt{y} + 2
  \]
- معادله را بر حسب $ y $ حل می‌کنیم:  
  \[
  \sqrt{y} = x - 2
  \]
  \[
  y = (x - 2)^2
  \]
بنابراین، ضابطه تابع وارون عبارت است از:  
\[
f^{-1}(x) = (x - 2)^2
\]

---

### 2. **یافتن دامنه و برد تابع اصلی و وارون:**  
#### دامنه و برد تابع $ f(x) $:  
- دامنه تابع $ f(x) $:  
  چون تابع $ f(x) = \sqrt{x} + 2 $ شامل ریشه دوم است، باید $ x \geq 0 $ باشد.  
  بنابراین:  
  \[
  D_f = [0, \infty)
  \]
  
- برد تابع $ f(x) $:  
  چون $ \sqrt{x} \geq 0 $، داریم:  
  \[
  f(x) = \sqrt{x} + 2 \geq 2
  \]
  بنابراین:  
  \[
  R_f = [2, \infty)
  \]

#### دامنه و برد تابع $ f^{-1}(x) $:  
برای تابع وارون:  
- دامنه تابع وارون برابر با برد تابع اصلی است:  
  \[
  D_{f^{-1}} = [2, \infty)
  \]
- برد تابع وارون برابر با دامنه تابع اصلی است:  
  \[
  R_{f^{-1}} = [0, \infty)
  \]

---

### **پاسخ نهایی:**  
1. ضابطه تابع وارون:  
   \[
   f^{-1}(x) = (x - 2)^2
   \]
2. دامنه تابع وارون:  
   \[
   D_{f^{-1}} = [2, \infty)
   \]
3. برد تابع وارون:  
   \[
   R_{f^{-1}} = [0, \infty)
   \]

---

### سوالات مرتبط:
1. چرا دامنه و برد تابع اصلی و وارون جایگزین یکدیگر می‌شوند؟
2. اگر ضابطه تابع اصلی به جای $ f(x) = \sqrt{x} + 2 $، $ f(x) = \sqrt{x} - 3 $ بود، دامنه و برد چه تغییری می‌کرد؟
3. در چه حالتی تابع وارون وجود ندارد؟
4. چرا ضابطه تابع وارون در این حالت $ (x - 2)^2 $ است؟
5. آیا تابع وارون همیشه یکتا است؟ چرا؟

### **نکته:**  
برای اینکه یک تابع دارای وارون باشد، باید یک‌به‌یک (یک‌مقداری) باشد؛ یعنی هیچ دو مقدار $ x_1 $ و $ x_2 $ نباید یک مقدار یکسان برای تابع تولید کنند.

اگر f(x)=√x+2 باشد ضابطه و برد و دامنه تابع وارون f را بیابید

Learn how to find the inverse function of f(x) = √x + 2, along with its domain and range. This step-by-step solution explains key concepts such as inverse functions, radical equations, and the inverse function theorem. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation