Vamos analisar a equação $3ax - 81p^5 = 0$, onde $x$ é uma incógnita e $p$ é um número primo diferente de 3. Queremos encontrar os valores inteiros de $a$ para os quais a equação admite solução inteira para $x$.

Primeiro, vamos isolar $x$:

$3ax = 81p^5$

Dividindo ambos os lados por $3a$:

$x = \frac{81p^5}{3a}$

Simplificando a fração:

$x = \frac{27p^5}{a}$

Para que $x$ seja um número inteiro, a fração $\frac{27p^5}{a}$ deve ser um número inteiro. Isso implica que $a$ deve ser um divisor de $27p^5$.

Vamos encontrar os divisores de $27p^5$:

$27 = 3^3$

Portanto, $27p^5 = 3^3 \cdot p^5$. Os divisores de $27p^5$ são de forma $3^m \cdot p^n$, onde $m$ pode ser 0, 1, 2, ou 3, e $n$ pode ser 0, 1, 2, 3, 4, ou 5.

Vamos calcular o número de divisores:

• Para $m$, há 4 opções (0 a 3).
• Para $n$, há 6 opções (0 a 5).

Assim, o número total de divisores é:

$4 \times 6 = 24$

Portanto, há 24 valores inteiros possíveis para $a$ que fazem com que a equação admita solução inteira.

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, por favor, avise-me.

Aqui estão cinco perguntas para você fazer:

1. Como encontrar o MMC e MDC de dois números?
2. Quais são as propriedades dos números primos?
3. Como resolver sistemas de equações lineares?
4. O que são equações diofantinas e como resolvê-las?
5. Como fatorar polinômios?

Dica: Para verificar se uma fração é um número inteiro, certifique-se de que o denominador seja um divisor do numerador.