considere a equação 3ax - 81p⁵ = 0, em que "x" é uma incógnita e "p" é um numero primo diferente de 3, quantos sao os valores inteiros de "a" tais que a equação admite solução inteira?

Vamos analisar a equação \( 3ax - 81p^5 = 0 \), onde \( x \) é uma incógnita e \( p \) é um número primo diferente de 3. Queremos encontrar os valores inteiros de \( a \) para os quais a equação admite solução inteira para \( x \).

Primeiro, vamos isolar \( x \):

\[
3ax = 81p^5
\]

Dividindo ambos os lados por \( 3a \):

\[
x = \frac{81p^5}{3a}
\]

Simplificando a fração:

\[
x = \frac{27p^5}{a}
\]

Para que \( x \) seja um número inteiro, a fração \(\frac{27p^5}{a}\) deve ser um número inteiro. Isso implica que \( a \) deve ser um divisor de \( 27p^5 \).

Vamos encontrar os divisores de \( 27p^5 \):

\[
27 = 3^3
\]

Portanto, \( 27p^5 = 3^3 \cdot p^5 \). Os divisores de \( 27p^5 \) são de forma \( 3^m \cdot p^n \), onde \( m \) pode ser 0, 1, 2, ou 3, e \( n \) pode ser 0, 1, 2, 3, 4, ou 5.

Vamos calcular o número de divisores:

- Para \( m \), há 4 opções (0 a 3).
- Para \( n \), há 6 opções (0 a 5).

Assim, o número total de divisores é:

\[
4 \times 6 = 24
\]

Portanto, há 24 valores inteiros possíveis para \( a \) que fazem com que a equação admita solução inteira.

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, por favor, avise-me.

Aqui estão cinco perguntas para você fazer:
1. Como encontrar o MMC e MDC de dois números?
2. Quais são as propriedades dos números primos?
3. Como resolver sistemas de equações lineares?
4. O que são equações diofantinas e como resolvê-las?
5. Como fatorar polinômios?

**Dica:** Para verificar se uma fração é um número inteiro, certifique-se de que o denominador seja um divisor do numerador.

Explore how to determine integer values of 'a' for which the equation 3ax - 81p⁵ = 0 has integer solutions. This problem involves prime numbers and divisibility concepts, crucial for advanced high school mathematics.

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