Vamos a analizar las dos funciones dadas para determinar si existen asíntotas horizontales y verticales.

Función $a. \ f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 9}$

1. Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales se encuentran donde el denominador se hace cero, ya que la función no está definida en esos puntos. Para encontrar los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero:

   $x^2 - 9 = 0$

   Factorizando:

   $(x - 3)(x + 3) = 0$

   Entonces, $x = 3$ y $x = -3$. Estas son las asíntotas verticales.

   Asíntotas verticales: $x = 3$ y $x = -3$.

2. Asíntotas horizontales: Para encontrar las asíntotas horizontales, analizamos el comportamiento de la función cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$. Como el grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1), la asíntota horizontal está en $y = 0$.

   Asíntota horizontal: $y = 0$.

Función $b. \ f(x) = \frac{2x - 3}{x + 1}$

1. Asíntotas verticales: Al igual que en el caso anterior, para encontrar las asíntotas verticales, determinamos los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero:

   $x + 1 = 0$

   Entonces, $x = -1$. Esta es la asíntota vertical.

   Asíntota vertical: $x = -1$.

2. Asíntotas horizontales: En este caso, el grado del numerador (1) es igual al grado del denominador (1). Para encontrar la asíntota horizontal, dividimos los coeficientes de los términos principales:

   $y = \frac{2}{1} = 2$

   Asíntota horizontal: $y = 2$.

Resumen de las asíntotas:

• Función a:

  • Asíntotas verticales: $x = 3$, $x = -3$.
  • Asíntota horizontal: $y = 0$.

• Función b:

  • Asíntota vertical: $x = -1$.
  • Asíntota horizontal: $y = 2$.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna otra pregunta sobre este tema?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la factorización de polinomios a la identificación de las asíntotas verticales?
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3. ¿Cómo se determina el comportamiento de una función cerca de una asíntota vertical?
4. ¿Existen funciones racionales sin asíntotas horizontales o verticales?
5. ¿Qué representan gráficamente las asíntotas en una función?

Tip:

Para identificar las asíntotas, siempre comienza revisando dónde el denominador se hace cero para las verticales y comparando los grados de numerador y denominador para las horizontales.