برای یافتن مقدار $f(3) - f(7)$ در تابع خطی $f(x)$، ابتدا باید معادله تابع خطی را پیدا کنیم.

مرحله اول: معادله تابع خطی

تابع خطی به صورت $f(x) = ax + b$ است، که در آن $a$ شیب و $b$ عرض از مبدأ است.

با توجه به اطلاعات داده شده:

1. $f(1) = 0$
2. $f(5) = -2$

برای تعیین $a$ و $b$ از این دو معادله استفاده می‌کنیم.

معادله اول:

$f(1) = a(1) + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -a$

معادله دوم:

$f(5) = a(5) + b = -2 \quad \Rightarrow \quad 5a + b = -2$ با جایگذاری $b = -a$ در این معادله: $5a - a = -2 \quad \Rightarrow \quad 4a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{2}$

حالا که $a = -\frac{1}{2}$ را پیدا کردیم، $b$ را نیز از معادله $b = -a$ به دست می‌آوریم: $b = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

بنابراین معادله تابع خطی $f(x)$ به صورت زیر است: $f(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

مرحله دوم: محاسبه $f(3) - f(7)$

حالا که معادله $f(x)$ را داریم، می‌توانیم $f(3)$ و $f(7)$ را محاسبه کنیم.

محاسبه $f(3)$:

$f(3) = -\frac{1}{2}(3) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$

محاسبه $f(7)$:

$f(7) = -\frac{1}{2}(7) + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2} + \frac{1}{2} = -3$

مرحله سوم: محاسبه تفاوت

حالا می‌توانیم مقدار $f(3) - f(7)$ را محاسبه کنیم: $f(3) - f(7) = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$

نتیجه:

حاصل $f(3) - f(7)$ برابر با $2$ است.

آیا سوال دیگری دارید یا توضیحات بیشتری می‌خواهید؟

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان شیب یک تابع خطی را از روی دو نقطه محاسبه کرد؟
2. در چه شرایطی تابع خطی $f(x) = ax + b$ به صورت عمودی و افقی تغییر می‌کند؟
3. اگر تابعی از نوع $f(x) = mx + c$ باشد، چگونه می‌توان از روی دو نقطه معادله آن را به دست آورد؟
4. تابع خطی چه ویژگی‌هایی دارد که آن را از سایر توابع متمایز می‌کند؟
5. اگر مقدار تابع خطی برای یک نقطه داده نشود، چگونه می‌توان آن را محاسبه کرد؟

نکته: وقتی دو نقطه از یک تابع خطی را داشته باشید، می‌توانید شیب را از تقسیم تغییرات $y$ بر تغییرات $x$ محاسبه کنید و سپس معادله تابع را بسازید.