Untuk menentukan turunan fungsi $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ menggunakan definisi turunan, kita akan menggunakan definisi dasar turunan sebagai berikut:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

1. Langkah pertama: Tentukan $f(x+h)$.

   $f(x+h) = (x+h)^3 + (x+h)^2 + 1$

   Mari kita uraikan setiap suku:

   • Untuk $(x+h)^3$: $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

   • Untuk $(x+h)^2$: $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$

   Maka, ekspresi untuk $f(x+h)$ menjadi:

   $f(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + x^2 + 2xh + h^2 + 1$

2. Langkah kedua: Hitung $f(x+h) - f(x)$.

   Kita tahu bahwa $f(x) = x^3 + x^2 + 1$, jadi

   $f(x+h) - f(x) = \left(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + x^2 + 2xh + h^2 + 1\right) - \left(x^3 + x^2 + 1\right)$

   Dengan menyederhanakan, kita dapat mengeliminasi $x^3$, $x^2$, dan $1$:

   $f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2xh + h^2$

   Kemudian, kita dapat mengelompokkan suku-suku yang mengandung $h$:

   $f(x+h) - f(x) = h(3x^2 + 3xh + h^2 + 2x + h)$

3. Langkah ketiga: Bagi hasil di atas dengan $h$.

   $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 + 2x + h$

4. Langkah keempat: Ambil limit ketika $h \to 0$.

   $f'(x) = \lim_{h \to 0} \left(3x^2 + 3xh + h^2 + 2x + h\right)$

   Ketika $h \to 0$, suku-suku yang mengandung $h$ akan menghilang, sehingga kita mendapatkan:

   $f'(x) = 3x^2 + 2x$

Jadi, turunan dari fungsi $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ adalah:

$f'(x) = 3x^2 + 2x$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Pertanyaan Terkait

1. Bagaimana cara menggunakan definisi turunan untuk fungsi yang lebih kompleks?
2. Bagaimana metode alternatif selain definisi turunan untuk menemukan turunan suatu fungsi?
3. Bagaimana jika kita mencari turunan fungsi trigonometri menggunakan definisi?
4. Dapatkah kita menemukan turunan kedua dari fungsi ini?
5. Apa kegunaan praktis dari konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari?

Tip: Menguasai konsep limit sangat membantu dalam memahami dan menggunakan definisi turunan.