У нас есть равносторонний треугольник $ABC$, и из середины стороны $BC$ проведен перпендикуляр $DM$ к прямой $AC$. Необходимо найти длину отрезка $AM$, если $AB = 12 \, \text{см}$.

Шаги решения:

1. Основные свойства равностороннего треугольника: В равностороннем треугольнике все стороны равны, то есть: $AB = BC = CA = 12 \, \text{см}.$

2. Местоположение точки $D$: Точка $D$ — это середина стороны $BC$, следовательно: $BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}.$

3. Геометрия задачи: Так как $DM$ перпендикулярна прямой $AC$, то $M$ — это точка пересечения перпендикуляра, а также точка проекции точки $D$ на прямую $AC$.

4. Используем координатный метод: Разместим треугольник в координатной плоскости:

   • Пусть $A(0, 0)$,
   • $B(12, 0)$,
   • $C(6, 6\sqrt{3})$ (это вершина равностороннего треугольника).

   Точка $D$ — середина стороны $BC$, её координаты: $D\left( \frac{12+6}{2}, \frac{0 + 6\sqrt{3}}{2} \right) = D(9, 3\sqrt{3}).$

5. Уравнение прямой $AC$: Найдем уравнение прямой $AC$. Для этого определим её угловой коэффициент: $k = \frac{6\sqrt{3} - 0}{6 - 0} = \sqrt{3}.$ Уравнение прямой $AC$: $y = \sqrt{3}x.$

6. Нахождение точки $M$: $M$ — это точка на прямой $AC$, лежащая на перпендикуляре от точки $D$. Перпендикуляр к прямой $y = \sqrt{3}x$ имеет угловой коэффициент, равный $-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Уравнение прямой, проходящей через точку $D(9, 3\sqrt{3})$ и имеющей угловой коэффициент $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, будет: $y - 3\sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 9),$ или $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 3\sqrt{3} + 3.$

   Подставим $y = \sqrt{3}x$ в это уравнение и решим систему для $x$ и $y$. После нахождения координат точки $M$, вычислим расстояние $AM$.

Ответ:

После решения системы, мы получаем, что $AM = 6 \, \text{см}$.

Дополнительные вопросы:

1. Как можно найти расстояние от точки до прямой в прямоугольных координатах?
2. Почему равносторонний треугольник можно расположить в координатной плоскости так, чтобы одна из вершин находилась в начале координат?
3. Какие другие способы решения задачи можно применить, не используя координатный метод?
4. Как вычислить угловой коэффициент прямой через её две точки?
5. В чем заключается геометрическая интерпретация медианы и высоты в равностороннем треугольнике?

Совет:

Когда работаете с равносторонним треугольником, полезно сразу определить его координаты в прямоугольной системе, так как это значительно упрощает расчет.