Для решения задачи необходимо найти такое значение $\alpha$, при котором векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ взаимно перпендикулярны. Взаимная перпендикулярность означает, что скалярное произведение векторов равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.$

Запишем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2\alpha) + (\alpha)(-1).$

Упростим выражение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 4\alpha - \alpha.$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 3\alpha.$

Условие перпендикулярности:

$3 + 3\alpha = 0.$

Решим уравнение:

$3\alpha = -3 \quad \Rightarrow \quad \alpha = -1.$

Ответ:

$-1$.

Если остались вопросы или хотите уточнений, дайте знать!

---

Связанные вопросы:

1. Что такое скалярное произведение векторов и как его вычислять?
2. Какой геометрический смысл у скалярного произведения?
3. Какие ещё условия могут использоваться для проверки взаимного расположения векторов?
4. Что произойдёт, если $\alpha = 0$? Будут ли векторы перпендикулярны?
5. Как проверить длину вектора и её влияние на углы между векторами?

Советы:

Если векторы заданы компонентами, то сначала выпишите их скалярное произведение в общей форме, а затем подставляйте конкретные значения для упрощения.