Um die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1$ zu berechnen, müssen wir die Gleichung $f(x) = 0$ lösen, also:

$x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 = 0$

1. Rationaler Wurzeltest

Zunächst können wir den rationalen Wurzeltest anwenden, um mögliche rationale Nullstellen zu finden. Die möglichen Kandidaten für rationale Nullstellen sind Teiler des konstanten Terms (1) und des Koeffizienten des höchsten Grades (1). Das ergibt die möglichen Werte:

$x = \pm 1$

2. Testen der möglichen Nullstellen

Wir setzen nun $x = 1$ in die Gleichung ein:

$f(1) = 1^3 - \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{3}{2}(1) + 1 = 1 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$

Daher ist $x = 1$ eine Nullstelle.

3. Polynomdivision

Da $x = 1$ eine Nullstelle ist, können wir die Funktion durch $x - 1$ dividieren. Das Ergebnis der Polynomdivision von $x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1$ durch $x - 1$ ist ein quadratisches Polynom.

Führen wir die Polynomdivision durch:

$\frac{x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1}{x - 1}$

Das ergibt:

$x^2 - \frac{1}{2}x - 1$

4. Nullstellen des quadratischen Polynoms

Nun lösen wir $x^2 - \frac{1}{2}x - 1 = 0$ mit der Mitternachtsformel:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Hier ist $a = 1$, $b = -\frac{1}{2}$, und $c = -1$. Wir berechnen den Diskriminanten:

$\Delta = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4(1)(-1) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$

Nun setzen wir die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$x = \frac{-\left(-\frac{1}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{17}{4}}}{2(1)} = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{17}}{2}}{2}$

Das ergibt:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$

5. Endergebnis

Die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1$ sind:

$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_3 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

Möchtest du eine detaillierte Erklärung zu einem der Schritte oder hast du Fragen?

Hier sind 5 weiterführende Fragen, um dein Verständnis zu vertiefen:

1. Was ist der rationale Wurzeltest und wie funktioniert er?
2. Wie führt man eine Polynomdivision durch?
3. Wann ist der Diskriminant einer quadratischen Gleichung negativ?
4. Wie kann man die Mitternachtsformel bei komplizierten Wurzeln interpretieren?
5. Welche Bedeutung hat die Diskriminante für die Art der Nullstellen?

Tipp: Immer wenn du Nullstellen eines Polynoms suchst, überprüfe zuerst mögliche rationale Nullstellen, bevor du dich an andere Methoden machst!