Une droite d indice 1 passe par les points A ouvrir la parenthèse moins 30 virgule moins 204 fermer la parenthèse et B ouvrir la parenthèse 13 virgule 54 fermer la parenthèse. 

L'abscisse à l'origine d'une droite d indice 2 est 26. 

De plus, les droites d indice 1 et d indice 2 se croisent au point C dont l'abscisse est 15. 

 

Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d indice 2?

Pour résoudre ce problème, nous devons suivre plusieurs étapes pour déterminer l'ordonnée à l'origine (l'ordonnée de l'intersection avec l'axe des ordonnées) de la droite d'indice 2.

### Étape 1 : Trouver l'équation de la droite d'indice 1

Une droite passant par deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) a une équation sous la forme :
\[
y = mx + b
\]
où \(m\) est la pente et \(b\) est l'ordonnée à l'origine.

**Calcul de la pente \(m\) :**

La pente \(m\) entre deux points \(A(-30, -204)\) et \(B(13, 54)\) est donnée par :
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{54 - (-204)}{13 - (-30)} = \frac{54 + 204}{13 + 30} = \frac{258}{43} = 6
\]

**Détermination de l'ordonnée à l'origine \(b\) pour la droite d'indice 1 :**

Sachant que la droite passe par le point \(A(-30, -204)\), nous pouvons utiliser l'équation de la droite \(y = mx + b\) pour trouver \(b\) :

\[
-204 = 6 \times (-30) + b
\]

\[
-204 = -180 + b
\]

\[
b = -204 + 180 = -24
\]

Ainsi, l'équation de la droite d'indice 1 est :
\[
y = 6x - 24
\]

### Étape 2 : Trouver l'ordonnée du point de croisement \(C\) des deux droites

On sait que les droites d'indice 1 et d'indice 2 se croisent au point \(C\) où l'abscisse est \(15\). Utilisons l'équation de la droite d'indice 1 pour trouver l'ordonnée de \(C\).

Pour \(x = 15\) dans l'équation de la droite d'indice 1 :
\[
y = 6 \times 15 - 24
\]

\[
y = 90 - 24 = 66
\]

Ainsi, le point \(C\) de croisement a pour coordonnées \(C(15, 66)\).

### Étape 3 : Déterminer l'ordonnée à l'origine de la droite d'indice 2

La droite d'indice 2 passe par le point \(C(15, 66)\) et a une abscisse à l'origine de \(26\), c'est-à-dire que lorsque \(y = 0\), \(x = 26\).

L'équation de la droite d'indice 2 peut être écrite sous la forme générale :
\[
y = m_2 x + b_2
\]

Comme elle passe par \(C(15, 66)\), nous avons :
\[
66 = m_2 \times 15 + b_2
\]

Et puisqu'elle passe par le point où \(x = 26\) et \(y = 0\) (abscisse à l'origine de 26), nous avons aussi :
\[
0 = m_2 \times 26 + b_2
\]

Résolvons ces deux équations pour \(m_2\) et \(b_2\).

1. \(b_2 = -m_2 \times 26\)

Substituons cette valeur dans la première équation :
\[
66 = m_2 \times 15 - m_2 \times 26
\]

\[
66 = m_2 (15 - 26)
\]

\[
66 = m_2 (-11)
\]

\[
m_2 = \frac{66}{-11} = -6
\]

2. Maintenant, trouvons \(b_2\) :

\[
b_2 = -(-6) \times 26 = 6 \times 26 = 156
\]

### Conclusion

L'ordonnée à l'origine de la droite d'indice 2 est **156**.

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur cette solution ? 

Voici quelques questions supplémentaires à explorer :
1. Comment déterminer la pente d'une droite passant par deux points donnés ?
2. Quelle est la méthode pour trouver l'équation d'une droite connaissant sa pente et un point par lequel elle passe ?
3. Comment résoudre des systèmes d'équations pour trouver l'intersection de deux droites ?
4. Comment interpréter graphiquement les caractéristiques d'une droite telles que l'ordonnée et l'abscisse à l'origine ?
5. Quelles applications pratiques peuvent être associées à la compréhension de l'intersection de deux droites ?

**Tip:** Pour vérifier vos calculs dans des problèmes de géométrie analytique, il est souvent utile de représenter graphiquement les équations pour s'assurer que les points d'intersection et les pentes sont corrects.

Une droite d'indice 1 passe par les points A(-30, -204) et B(13, 54). L'abscisse à l'origine d'une droite d'indice 2 est 26. De plus, les droites d'indice 1 et d'indice 2 se croisent au point C dont l'abscisse est 15. Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'indice 2?

Discover how to calculate the y-intercept of a line that intersects another line at a specific point. This problem involves determining the slope, finding the equation of a line, and solving a system of linear equations. Suitable for students in Grades 10-12.

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