sebuah deret dengan nilai suku ke n adalah An=X + ((An-1)*1.065), dengan A1=X dan A17 adalah 7.5 miliar brapakah X

Diketahui sebuah deret dengan hubungan rekursif:

\[
A_n = X + (A_{n-1} \cdot 1.065), \quad A_1 = X
\]

Diketahui juga \( A_{17} = 7.5 \, \text{miliar} \) atau \( A_{17} = 7.5 \times 10^9 \). Tujuan kita adalah mencari nilai \( X \).

---

### Langkah Penyelesaian:

1. **Nilai Rekursif \( A_n \)**  
   Karena \( A_1 = X \), kita bisa menghitung setiap suku dari \( A_2 \) hingga \( A_{17} \) menggunakan rumus:
   \[
   A_2 = X + (A_1 \cdot 1.065)
   \]
   \[
   A_3 = X + (A_2 \cdot 1.065)
   \]
   dan seterusnya. Hal ini dapat dinyatakan secara umum:
   \[
   A_n = X \cdot (1 + 1.065 + 1.065^2 + \dots + 1.065^{n-1})
   \]

2. **Rumus Deret Geometri**  
   Ekspresi di dalam tanda kurung merupakan deret geometri:
   \[
   S_{n-1} = 1 + r + r^2 + \dots + r^{n-1}
   \]
   dengan \( r = 1.065 \). Untuk deret geometri, jumlahnya adalah:
   \[
   S_{n-1} = \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \neq 1
   \]
   Maka:
   \[
   A_n = X \cdot \frac{1 - 1.065^n}{1 - 1.065}
   \]

3. **Substitusi \( A_{17} = 7.5 \times 10^9 \)**  
   Substitusi \( n = 17 \) dan \( A_{17} = 7.5 \times 10^9 \):
   \[
   7.5 \times 10^9 = X \cdot \frac{1 - 1.065^{17}}{1 - 1.065}
   \]

4. **Hitung \( 1.065^{17} \):**  
   Mari kita hitung nilai \( 1.065^{17} \), kemudian substitusi ke rumus untuk mendapatkan \( X \).

---

Mari kita lanjutkan dengan perhitungan numerik. Define constants
r = 1.065  # Growth rate
n = 17  # Total terms
A_17 = 7.5e9  # A17 in scientific notation

# Compute the geometric sum factor
r_n = r**n  # r^n
sum_factor = (1 - r_n) / (1 - r)

# Calculate X
X = A_17 / sum_factor
XHasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai \( X \) adalah sekitar:

\[
X \approx 254,297,448.79
\]

atau sekitar **254,3 juta**.

---

### Penjelasan Akhir:
Nilai awal \( X \) ini menjadi dasar dari deret rekursif, yang bertumbuh dengan faktor \( 1.065 \) setiap suku, sehingga menghasilkan \( A_{17} = 7.5 \, \text{miliar} \).

---

**Apakah Anda ingin melihat penjelasan lebih rinci atau bantuan lainnya?**  
Berikut 5 pertanyaan lanjutan yang terkait:  
1. Bagaimana cara menghitung \( 1.065^{17} \) secara manual?  
2. Apa pengaruh perubahan faktor pertumbuhan \( 1.065 \) terhadap hasil \( X \)?  
3. Bagaimana cara menyelesaikan deret ini jika \( A_{17} \) diberikan dalam bentuk lain?  
4. Apakah rumus ini dapat digunakan untuk nilai \( n \) yang sangat besar?  
5. Bagaimana jika \( A_1 \neq X \), apakah rumusnya tetap berlaku?  

**Tip:** Gunakan notasi ilmiah untuk bekerja dengan angka besar seperti \( 7.5 \, \text{miliar} \) untuk menghindari kesalahan perhitungan!

Sebuah deret dengan nilai suku ke-n adalah An=X + ((An-1)*1.065), dengan A1=X dan A17 adalah 7.5 miliar. Berapakah X?

Learn how to solve a recursive sequence problem where A17 equals 7.5 billion, with the formula An = X + (An-1 * 1.065). This solution involves arithmetic and geometric progression concepts, using the sum formula for geometric series. Suitable for advanced high school or early college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation