We hebben de functie $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{bx + 1}$, en er wordt gegeven dat de schuine asymptoot de vergelijking $y = 4x - 3$ heeft. We willen de waarden van $a$ en $b$ vinden.

Stap 1: Schuine asymptoot

Een schuine asymptoot ontstaat wanneer $x$ naar oneindig gaat, en dit geeft ons informatie over het gedrag van de functie voor grote $x$.

Laten we eerst de graad van de teller en de noemer van de functie onderzoeken:

• De teller is $ax^2 + bx$, wat een kwadratische functie is.
• De noemer is $bx + 1$, een lineaire functie.

Aangezien de graad van de teller groter is dan die van de noemer, kunnen we een schuine asymptoot verwachten. De schuine asymptoot wordt gevonden door de functie te delen door de leidende termen van de noemer voor grote $x$.

Stap 2: Longdivisie uitvoeren

We voeren longdivisie uit van de teller $ax^2 + bx$ door de noemer $bx + 1$.

Bij benadering voor grote $x$ is $f(x)$ als volgt:

\approx \frac{ax^2 + bx}{bx} = \frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$$ Dit betekent dat de schuine asymptoot de vorm heeft: $$y = \frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$$ ### Stap 3: Vergelijk de asymptoot We weten dat de asymptoot de vergelijking $$y = 4x - 3$$ heeft. Door deze te vergelijken met $$y = \frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$$, krijgen we het volgende stelsel van vergelijkingen: 1. $$\frac{a}{b} = 4$$ 2. $$\frac{1}{b} = -3$$ ### Stap 4: Los het stelsel op Uit de tweede vergelijking hebben we: $$b = -\frac{1}{3}$$ Vervang $$b$$ in de eerste vergelijking: $$\frac{a}{-\frac{1}{3}} = 4 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{4}{3}$$ ### Conclusie De waarden van $$a$$ en $$b$$ zijn: $$a = -\frac{4}{3}, \quad b = -\frac{1}{3}$$ Wil je meer uitleg of heb je nog vragen? ### Vijf gerelateerde vragen: 1. Hoe zou je een horizontale asymptoot vinden voor een andere functie? 2. Wat is het verschil tussen een horizontale en een schuine asymptoot? 3. Kun je uitleggen wat een verticale asymptoot is en hoe je die vindt? 4. Hoe zou je een asymptoot onderzoeken voor een rationele functie met hogere machten? 5. Wat gebeurt er met de schuine asymptoot als de graad van de teller gelijk is aan de graad van de noemer? ### Tip: Als je een asymptoot wilt vinden, bekijk dan altijd het gedrag van de functie als $$x$$ naar oneindig gaat, vooral door de leidende termen van de teller en noemer te vergelijken.