Решение:

В треугольнике ABC известны:

• $AC = 28.2 \, \text{см}$,
• $\angle B = 30^\circ$,
• $\angle C = 45^\circ$.

Используем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ.$

Теперь применяем теорему синусов: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}.$

Подставляем известные значения: $\sin C = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin A = \sin 105^\circ = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ.$

Используем формулу для $\sin 75^\circ$: $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ.$ Подставляем: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$

Теперь выражаем $AB$: $AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin A}.$

Подставляем: $AB = \frac{28.2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{28.2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}.$ Упрощаем: $AB = \frac{28.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.$

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное $\sqrt{6} - \sqrt{2}$: $AB = \frac{28.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}.$ Упрощаем знаменатель: $(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4.$ Теперь выражение для $AB$: $AB = \frac{28.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}.$ Сокращаем: $AB = 14.1 \cdot \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}).$

Оставляем ответ под корнем: $AB = 14.1 \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}).$

Итог: $AB = \boxed{\sqrt{2} (14.1 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})) \, \text{см}}.$

Хочешь уточнить или разобрать пример подробно?

5 дополнительных вопросов:

1. Как использовать теорему синусов для нахождения других сторон?
2. Как связаны углы и стороны треугольника в прямоугольном треугольнике?
3. Чем отличается использование формул для синуса сумм углов?
4. Как перейти от корней в ответе к числовому значению?
5. Какие ещё методы можно использовать для решения треугольников?

Совет: Всегда проверяй, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, чтобы избежать ошибок.