Дан треугольник ABC.
 
AC= 28,2 см; ∠ B= 30°; ∠ C= 45°.
Найди сторону AB.
(Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)
 
Ответ: AB= 
−−−−−−−√ см.

### Решение:

В треугольнике ABC известны:
- \( AC = 28.2 \, \text{см} \),
- \( \angle B = 30^\circ \),
- \( \angle C = 45^\circ \).

Используем, что сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ.
\]

Теперь применяем **теорему синусов**:
\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A}.
\]

Подставляем известные значения:
\[
\sin C = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin A = \sin 105^\circ = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ.
\]

Используем формулу для \( \sin 75^\circ \):
\[
\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ.
\]
Подставляем:
\[
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.
\]

Теперь выражаем \( AB \):
\[
AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin A}.
\]

Подставляем:
\[
AB = \frac{28.2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{28.2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}.
\]
Упрощаем:
\[
AB = \frac{28.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}.
\]

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное \( \sqrt{6} - \sqrt{2} \):
\[
AB = \frac{28.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}.
\]
Упрощаем знаменатель:
\[
(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4.
\]
Теперь выражение для \( AB \):
\[
AB = \frac{28.2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}.
\]
Сокращаем:
\[
AB = 14.1 \cdot \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}).
\]

Оставляем ответ под корнем:
\[
AB = 14.1 \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}).
\]

Итог:
\[
AB = \boxed{\sqrt{2} (14.1 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})) \, \text{см}}.
\]

Хочешь уточнить или разобрать пример подробно?  

5 дополнительных вопросов:
1. Как использовать теорему синусов для нахождения других сторон?
2. Как связаны углы и стороны треугольника в прямоугольном треугольнике?
3. Чем отличается использование формул для синуса сумм углов?
4. Как перейти от корней в ответе к числовому значению?
5. Какие ещё методы можно использовать для решения треугольников?  

**Совет:** Всегда проверяй, что сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), чтобы избежать ошибок.

Дан треугольник ABC. AC= 28,2 см; ∠ B= 30°; ∠ C= 45°. Найди сторону AB. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)

Learn how to find side AB of triangle ABC given AC=28.2 cm, ∠B=30°, and ∠C=45°. This problem involves applying the Sine Rule, calculating angles, and simplifying trigonometric expressions. Detailed step-by-step solution provided. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation