Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan memanfaatkan kalkulus tingkat lanjut, termasuk diferensiasi fungsi integral (menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus) dan aturan rantai.

Diberikan:

1. $f(x) = \int_{\sqrt{1}}^{x} \sin z \, \mathrm{d}t$
2. $g(y) = f(x)$ dengan $x = y^2 + 3$

Kita diminta mencari $g''(0)$.

---

Langkah 1: Cari ekspresi eksplisit untuk $f(x)$

Fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai integral dari $\sin z$ terhadap variabel $t$, tetapi variabel batas integral diubah menjadi $x$. Jadi, $f(x)$ dapat langsung ditulis berdasarkan batas:

$f(x) = \int_{\sqrt{1}}^{x} \sin t \, \mathrm{d}t$

Dengan menerapkan Teorema Fundamental Kalkulus, turunan pertama dari $f(x)$ adalah:

$f'(x) = \sin x$

---

Langkah 2: Definisikan $g(y)$

Diketahui $g(y) = f(x)$ dan $x = y^2 + 3$. Dengan substitusi, fungsi $g(y)$ menjadi:

$g(y) = f(y^2 + 3)$

Untuk mencari turunan kedua $g''(y)$, kita harus menggunakan aturan rantai berulang.

---

Langkah 3: Cari $g'(y)$

Turunan pertama $g'(y)$ adalah:

$g'(y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(y^2 + 3)$

Dengan aturan rantai:

$g'(y) = f'(y^2 + 3) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y^2 + 3)$

Karena $f'(x) = \sin x$, maka:

$g'(y) = \sin(y^2 + 3) \cdot 2y$

---

Langkah 4: Cari $g''(y)$

Turunan kedua $g''(y)$ adalah:

$g''(y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \sin(y^2 + 3) \cdot 2y \right)$

Gunakan aturan hasil kali:

$g''(y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \sin(y^2 + 3) \cdot 2y + \sin(y^2 + 3) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(2y)$

Turunkan masing-masing komponen:

1. Turunan $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \sin(y^2 + 3) = \cos(y^2 + 3) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(y^2 + 3) = \cos(y^2 + 3) \cdot 2y$
2. Turunan $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(2y) = 2$

Sehingga:

$g''(y) = \cos(y^2 + 3) \cdot 2y \cdot 2y + \sin(y^2 + 3) \cdot 2$

$g''(y) = 4y^2 \cos(y^2 + 3) + 2\sin(y^2 + 3)$

---

Langkah 5: Substitusi $y = 0$ ke $g''(y)$

Ketika $y = 0$:

1. $y^2 = 0$
2. $\cos(y^2 + 3) = \cos(3)$
3. $\sin(y^2 + 3) = \sin(3)$

Substitusi ke $g''(y)$:

$g''(0) = 4(0)^2 \cos(3) + 2\sin(3)$

$g''(0) = 2\sin(3)$

---

Jawaban Akhir:

$\boxed{2\sin(3)}$

---

Apakah Anda ingin saya menjelaskan langkah-langkah tertentu lebih detail? Berikut beberapa pertanyaan relevan yang dapat membantu Anda memahami lebih baik:

1. Apa itu Teorema Fundamental Kalkulus dan bagaimana penerapannya di sini?
2. Mengapa kita memanfaatkan aturan rantai untuk menghitung turunan fungsi $g(y)$?
3. Apa hubungan antara $f(x)$ dan $g(y)$ dalam soal ini?
4. Bagaimana cara mengelola integral dengan batas yang variabel?
5. Apa arti fisik atau geometris dari $g''(0)$ dalam konteks ini?

Tip: Selalu perhatikan perubahan batas integral ketika diferensiasi melibatkan fungsi integral, terutama jika variabel batas bersifat nonkonstan.