Βρείτε ένα επίπεδο που να διέρχεται από το σημείο Ρ(2,1,1) και να τέμνει κάθετα το επίπεδο 
2x+3y+z=6  

Για να βρούμε το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο \( P(2,1,1) \) και είναι κάθετο στο επίπεδο \( 2x + 3y + z = 6 \), πρέπει να λάβουμε υπόψη τα εξής:

1. Το επίπεδο έχει γενική μορφή \( ax + by + cz = d \), όπου \( (a, b, c) \) είναι το διάνυσμα του κανονικού του επιπέδου.
2. Το διάνυσμα του κανονικού στο επίπεδο \( 2x + 3y + z = 6 \) είναι το διάνυσμα \( \mathbf{n_1} = (2, 3, 1) \).
3. Για να είναι τα δύο επίπεδα κάθετα, το διάνυσμα του κανονικού του επιπέδου που αναζητούμε πρέπει να είναι παράλληλο με το διάνυσμα \( \mathbf{n_1} = (2, 3, 1) \).

Άρα, το επίπεδο που αναζητούμε θα έχει τη μορφή:

\[
2x + 3y + z = d
\]

4. Για να βρούμε την τιμή του \( d \), θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι το επίπεδο διέρχεται από το σημείο \( P(2,1,1) \). Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση του επιπέδου:

\[
2(2) + 3(1) + 1 = d \quad \Rightarrow \quad 4 + 3 + 1 = d \quad \Rightarrow \quad d = 8
\]

Άρα, το επίπεδο που ζητείται είναι:

\[
2x + 3y + z = 8
\]

### Συνοπτικά:
Το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο \( P(2,1,1) \) και είναι κάθετο στο επίπεδο \( 2x + 3y + z = 6 \) είναι:

\[
2x + 3y + z = 8
\]

---
Χρειάζεστε περισσότερες λεπτομέρειες ή επεξηγήσεις;

**Σχετικές ερωτήσεις:**
1. Πώς βρίσκουμε το διάνυσμα του κανονικού ενός επιπέδου;
2. Πώς μπορούμε να βρούμε το επίπεδο που είναι παράλληλο σε ένα άλλο;
3. Πώς βρίσκουμε το σημείο τομής δύο επιπέδων;
4. Πώς βρίσκουμε την απόσταση σημείου από επίπεδο;
5. Ποια είναι η γεωμετρική σημασία ενός κανονικού διανύσματος;

**Tip:** Το διάνυσμα του κανονικού ενός επιπέδου είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται πάνω στο επίπεδο.

Βρείτε ένα επίπεδο που να διέρχεται από το σημείο Ρ(2,1,1) και να τέμνει κάθετα το επίπεδο 2x+3y+z=6

Learn how to find a plane that passes through the point P(2,1,1) and is perpendicular to the plane 2x + 3y + z = 6. This problem involves geometric concepts like plane equations and normal vectors, and is suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation