Για να βρούμε το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο $P(2,1,1)$ και είναι κάθετο στο επίπεδο $2x + 3y + z = 6$, πρέπει να λάβουμε υπόψη τα εξής:

1. Το επίπεδο έχει γενική μορφή $ax + by + cz = d$, όπου $(a, b, c)$ είναι το διάνυσμα του κανονικού του επιπέδου.
2. Το διάνυσμα του κανονικού στο επίπεδο $2x + 3y + z = 6$ είναι το διάνυσμα $\mathbf{n_1} = (2, 3, 1)$.
3. Για να είναι τα δύο επίπεδα κάθετα, το διάνυσμα του κανονικού του επιπέδου που αναζητούμε πρέπει να είναι παράλληλο με το διάνυσμα $\mathbf{n_1} = (2, 3, 1)$.

Άρα, το επίπεδο που αναζητούμε θα έχει τη μορφή:

$2x + 3y + z = d$

4. Για να βρούμε την τιμή του $d$, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι το επίπεδο διέρχεται από το σημείο $P(2,1,1)$. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση του επιπέδου:

$2(2) + 3(1) + 1 = d \quad \Rightarrow \quad 4 + 3 + 1 = d \quad \Rightarrow \quad d = 8$

Άρα, το επίπεδο που ζητείται είναι:

$2x + 3y + z = 8$

Συνοπτικά:

Το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο $P(2,1,1)$ και είναι κάθετο στο επίπεδο $2x + 3y + z = 6$ είναι:

$2x + 3y + z = 8$

---

Χρειάζεστε περισσότερες λεπτομέρειες ή επεξηγήσεις;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Πώς βρίσκουμε το διάνυσμα του κανονικού ενός επιπέδου;
2. Πώς μπορούμε να βρούμε το επίπεδο που είναι παράλληλο σε ένα άλλο;
3. Πώς βρίσκουμε το σημείο τομής δύο επιπέδων;
4. Πώς βρίσκουμε την απόσταση σημείου από επίπεδο;
5. Ποια είναι η γεωμετρική σημασία ενός κανονικού διανύσματος;

Tip: Το διάνυσμα του κανονικού ενός επιπέδου είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται πάνω στο επίπεδο.