Fungsi yang diberikan adalah $f(x, y) = 10 + x + y$ dan kita ingin mencari nilai maksimum dan minimum pada himpunan $S$, yaitu $S = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 1\}$, yang merupakan cakram dengan jari-jari 1.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mempertimbangkan dua hal:

1. Nilai dalam interior dari himpunan $S$ (yaitu di dalam lingkaran, $x^2 + y^2 < 1$).
2. Nilai di tepi dari himpunan $S$ (yaitu di sepanjang lingkaran, $x^2 + y^2 = 1$).

Langkah 1: Memeriksa interior

Karena fungsi $f(x, y) = 10 + x + y$ adalah fungsi linear, tidak ada titik kritis di dalam interior cakram, karena turunan parsialnya selalu konstan:

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 1, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 1$

Ini berarti bahwa nilai maksimum dan minimum hanya akan terjadi di tepi cakram.

Langkah 2: Memeriksa tepi cakram $x^2 + y^2 = 1$

Di sepanjang tepi cakram, kita substitusi persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 1$. Kita dapat mengekspresikan titik-titik di tepi dalam bentuk parametrik:

$x = \cos \theta, \quad y = \sin \theta$

Sehingga fungsi $f(x, y)$ menjadi:

$f(\theta) = 10 + \cos \theta + \sin \theta$

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum, kita turunkan $f(\theta)$:

$\frac{d}{d\theta} f(\theta) = -\sin \theta + \cos \theta$

Setel turunan sama dengan nol untuk menemukan titik kritis:

$-\sin \theta + \cos \theta = 0$

Atau:

$\sin \theta = \cos \theta$

Ini terjadi ketika $\theta = \frac{\pi}{4}$ (kuadran I) dan $\theta = \frac{5\pi}{4}$ (kuadran III). Substitusi nilai $\theta$ ini ke dalam bentuk parametrik memberikan dua titik penting:

• Untuk $\theta = \frac{\pi}{4}$, kita punya $x = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ dan $y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Untuk $\theta = \frac{5\pi}{4}$, kita punya $x = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ dan $y = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Langkah 3: Evaluasi pada titik kritis dan ujung cakram

1. Pada $\theta = \frac{\pi}{4}$: $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 10 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 + \sqrt{2}$

2. Pada $\theta = \frac{5\pi}{4}$: $f\left( \frac{5\pi}{4} \right) = 10 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 - \sqrt{2}$

Dengan demikian, nilai maksimum dari $f(x, y)$ adalah $10 + \sqrt{2}$ dan nilai minimum adalah $10 - \sqrt{2}$.

Kesimpulan:

• Nilai maksimum: $10 + \sqrt{2}$
• Nilai minimum: $10 - \sqrt{2}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah ini?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung gradien dari fungsi dalam konteks optimisasi?
2. Apa perbedaan antara titik interior dan titik tepi dalam masalah optimisasi?
3. Bagaimana metode Lagrange bisa diterapkan untuk kasus ini?
4. Mengapa fungsi linear tidak memiliki titik kritis di interior domain?
5. Apa efek dari mengubah fungsi tujuan pada himpunan yang sama?

Tip: Pada masalah optimisasi dengan kendala lingkaran, menggunakan parametrisasi trigonometri adalah cara efektif untuk menyederhanakan proses perhitungan.