كيف أجد منحى مستقيم معطى بمعادلتين

لإيجاد منحى مستقيم معطى بمعادلتين، عادة يكون هذا المنحى ممثلاً بتقاطع مستويين في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن تمثيل المستقيم بمعادلتين جبريتين خطيتين تتعلقان بالمتغيرات \(x\)، \(y\)، و\(z\). فيما يلي خطوات حل المسألة:

### 1. **صياغة النظام الخطّي:**
   اكتب المعادلتين في صورتهما العامة:
   \[
   a_1x + b_1y + c_1z = d_1
   \]
   \[
   a_2x + b_2y + c_2z = d_2
   \]
   حيث \(a_1, b_1, c_1, d_1\) و \(a_2, b_2, c_2, d_2\) ثوابت.

---

### 2. **تحليل الحل المشترك:**
   - إذا كان للنظام الحلول، فهذه الحلول تمثل النقاط التي ينتمي إليها المستقيم.
   - قد نلجأ إلى تقليل النظام عبر القضاء على أحد المتغيرات (باستخدام طرق مثل التعويض أو الحذف).

---

### 3. **إيجاد متجه الاتجاه:**
   - للحصول على متجه الاتجاه للمستقيم، يمكننا حساب **الناتج الاتجاهي** للمتجهين الطبيعيين للمستويين:
     \[
     \mathbf{v} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}
     \]
     حيث
     \[
     \mathbf{n_1} = (a_1, b_1, c_1) \quad \text{و} \quad \mathbf{n_2} = (a_2, b_2, c_2).
     \]

---

### 4. **إيجاد نقطة على المستقيم:**
   - اختر متغيرًا كمعامل حر (غالبًا \(z = t\) أو أي متغير آخر).
   - حل النظام الناتج (بعد تثبيت المتغير) للحصول على قيم \(x\) و\(y\) عند تلك النقطة.

---

### 5. **كتابة معادلة المستقيم:**
   بعد تحديد نقطة \(P(x_0, y_0, z_0)\) ومتجه الاتجاه \(\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)\)، معادلة المستقيم تكون:
   \[
   \mathbf{r}(t) = \mathbf{P} + t\mathbf{v}
   \]
   أو بشكل بارامتري:
   \[
   x = x_0 + t v_x, \quad y = y_0 + t v_y, \quad z = z_0 + t v_z
   \]

---

### مثال:
لنفترض النظام:
\[
x + 2y - z = 3
\]
\[
2x - y + 3z = 4
\]

#### الخطوات:
1. **حساب الناتج الاتجاهي لمتجهات المستويين:**
   \[
   \mathbf{n_1} = (1, 2, -1), \quad \mathbf{n_2} = (2, -1, 3)
   \]
   الناتج الاتجاهي:
   \[
   \mathbf{v} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} 
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
   1 & 2 & -1 \\
   2 & -1 & 3
   \end{vmatrix} = (5, -5, -5)
   \]

2. **إيجاد نقطة على المستقيم:**
   باستخدام التعويض والحذف، يمكن إيجاد نقطة معينة (على سبيل المثال \(z = 0\)).

3. **كتابة معادلة المستقيم:**
   بعد حساب النقطة والمتجه، تُكتب المعادلة في الصورة المطلوبة.

هل لديك تفاصيل إضافية عن المعادلتين؟ 

---

### أسئلة متعلقة:
1. كيف نعرف إذا كان هناك تقاطع بين المستقيم والمستوي؟
2. ما هي الطرق الهندسية الأخرى لإيجاد معادلة مستقيم في الفضاء؟
3. كيف نحسب الناتج الاتجاهي بشكل يدوي أو باستخدام الحاسبة؟
4. ما الفرق بين معادلة المستقيم في الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد؟
5. كيف نتحقق من صحة النتائج عند إيجاد متجه الاتجاه؟

### نصيحة:
عند العمل مع المستقيمات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، استخدم **الناتج الاتجاهي** لتجنب الأخطاء في إيجاد متجه الاتجاه.

Discover how to find the line of intersection between two planes using algebraic and geometric techniques. This guide includes step-by-step instructions, key formulas like cross products, and parametric equations, making it ideal for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation