Math Problem Statement

كيف أجد منحى مستقيم معطى بمعادلتين

Solution

لإيجاد منحى مستقيم معطى بمعادلتين، عادة يكون هذا المنحى ممثلاً بتقاطع مستويين في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن تمثيل المستقيم بمعادلتين جبريتين خطيتين تتعلقان بالمتغيرات xx، yy، وzz. فيما يلي خطوات حل المسألة:

1. صياغة النظام الخطّي:

اكتب المعادلتين في صورتهما العامة: a1x+b1y+c1z=d1a_1x + b_1y + c_1z = d_1 a2x+b2y+c2z=d2a_2x + b_2y + c_2z = d_2 حيث a1,b1,c1,d1a_1, b_1, c_1, d_1 و a2,b2,c2,d2a_2, b_2, c_2, d_2 ثوابت.


2. تحليل الحل المشترك:

  • إذا كان للنظام الحلول، فهذه الحلول تمثل النقاط التي ينتمي إليها المستقيم.
  • قد نلجأ إلى تقليل النظام عبر القضاء على أحد المتغيرات (باستخدام طرق مثل التعويض أو الحذف).

3. إيجاد متجه الاتجاه:

  • للحصول على متجه الاتجاه للمستقيم، يمكننا حساب الناتج الاتجاهي للمتجهين الطبيعيين للمستويين: v=n1×n2\mathbf{v} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} حيث n1=(a1,b1,c1)وn2=(a2,b2,c2).\mathbf{n_1} = (a_1, b_1, c_1) \quad \text{و} \quad \mathbf{n_2} = (a_2, b_2, c_2).

4. إيجاد نقطة على المستقيم:

  • اختر متغيرًا كمعامل حر (غالبًا z=tz = t أو أي متغير آخر).
  • حل النظام الناتج (بعد تثبيت المتغير) للحصول على قيم xx وyy عند تلك النقطة.

5. كتابة معادلة المستقيم:

بعد تحديد نقطة P(x0,y0,z0)P(x_0, y_0, z_0) ومتجه الاتجاه v=(vx,vy,vz)\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)، معادلة المستقيم تكون: r(t)=P+tv\mathbf{r}(t) = \mathbf{P} + t\mathbf{v} أو بشكل بارامتري: x=x0+tvx,y=y0+tvy,z=z0+tvzx = x_0 + t v_x, \quad y = y_0 + t v_y, \quad z = z_0 + t v_z


مثال:

لنفترض النظام: x+2yz=3x + 2y - z = 3 2xy+3z=42x - y + 3z = 4

الخطوات:

  1. حساب الناتج الاتجاهي لمتجهات المستويين: n1=(1,2,1),n2=(2,1,3)\mathbf{n_1} = (1, 2, -1), \quad \mathbf{n_2} = (2, -1, 3) الناتج الاتجاهي:

    \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (5, -5, -5)$$
  2. إيجاد نقطة على المستقيم: باستخدام التعويض والحذف، يمكن إيجاد نقطة معينة (على سبيل المثال z=0z = 0).

  3. كتابة معادلة المستقيم: بعد حساب النقطة والمتجه، تُكتب المعادلة في الصورة المطلوبة.

هل لديك تفاصيل إضافية عن المعادلتين؟


أسئلة متعلقة:

  1. كيف نعرف إذا كان هناك تقاطع بين المستقيم والمستوي؟
  2. ما هي الطرق الهندسية الأخرى لإيجاد معادلة مستقيم في الفضاء؟
  3. كيف نحسب الناتج الاتجاهي بشكل يدوي أو باستخدام الحاسبة؟
  4. ما الفرق بين معادلة المستقيم في الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد؟
  5. كيف نتحقق من صحة النتائج عند إيجاد متجه الاتجاه؟

نصيحة:

عند العمل مع المستقيمات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، استخدم الناتج الاتجاهي لتجنب الأخطاء في إيجاد متجه الاتجاه.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Vector Calculus
3D Geometry

Formulas

General form of a plane equation: ax + by + cz = d
Cross product to find direction vector: v = n1 × n2
Parametric form of a line: r(t) = P + t*v

Theorems

Properties of cross product
System of linear equations

Suitable Grade Level

Grades 10-12