Para resolver el límite de la sucesión $a_n$ cuando $n \to \infty$ utilizando la regla de Stolz-Cesàro, seguimos los siguientes pasos:

Dado: $a_n = \frac{n^2 + 5n}{\sqrt{n} + 6}$

Paso 1: Aplicar la regla de Stolz-Cesàro

La regla de Stolz-Cesàro se puede aplicar si tenemos una sucesión $a_n$ y $b_n$ con $b_n$ estrictamente creciente y tal que $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$. Entonces, si el límite $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$ existe, este límite es igual a $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$.

En este caso, tomamos $b_n = n$, así que necesitamos calcular:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{1}$

Paso 2: Calcular $a_{n+1}$ y $a_{n+1} - a_n$

$a_{n+1} = \frac{(n+1)^2 + 5(n+1)}{\sqrt{n+1} + 6}$ Expandimos y simplificamos: $a_{n+1} = \frac{n^2 + 2n + 1 + 5n + 5}{\sqrt{n+1} + 6} = \frac{n^2 + 7n + 6}{\sqrt{n+1} + 6}$

Luego, calculamos $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \frac{n^2 + 7n + 6}{\sqrt{n+1} + 6} - \frac{n^2 + 5n}{\sqrt{n} + 6}$ Para resolver esto, debemos simplificar esta expresión, pero dado que queremos el límite cuando $n$ tiende a infinito, primero examinemos los términos dominantes.

Paso 3: Simplificación en $n \to \infty$

Para grandes valores de $n$, $\sqrt{n+1}$ es aproximadamente $\sqrt{n}$, así que podemos aproximar la expresión como: $a_{n+1} - a_n \approx \frac{n^2 + 7n + 6}{\sqrt{n} + 6} - \frac{n^2 + 5n}{\sqrt{n} + 6}$ Esto se puede simplificar a: $a_{n+1} - a_n \approx \frac{2n + 6}{\sqrt{n} + 6}$

Cuando $n \to \infty$, el término dominante en el numerador es $2n$, y en el denominador $\sqrt{n}$, así que: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} 2\sqrt{n} = \infty$

Paso 4: Conclusión

Dado que el límite tiende a infinito, concluimos que: $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$

Respuesta:

El límite de la sucesión cuando $n$ tiende a infinito es $\infty$.

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplicaría la regla de Stolz-Cesàro en una sucesión diferente?
2. ¿Qué pasa si el término general de la sucesión tiene términos con logaritmos o exponentes?
3. ¿Cuáles son otros métodos para encontrar límites de sucesiones?
4. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que la regla de Stolz-Cesàro sea aplicable?
5. ¿Cómo se puede analizar el comportamiento de una sucesión sin usar la regla de Stolz-Cesàro?

Tip: Al analizar límites de sucesiones, enfócate en los términos dominantes, ya que estos determinan el comportamiento de la sucesión cuando $n$ tiende a infinito.