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Halle el límite de las sucesiones siguientes cuando n , siendo el término general el que
se indica. resolver con regla de stolz

Para resolver el límite de la sucesión \( a_n \) cuando \( n \to \infty \) utilizando la regla de Stolz-Cesàro, seguimos los siguientes pasos:

**Dado:**
\[
a_n = \frac{n^2 + 5n}{\sqrt{n} + 6}
\]

### Paso 1: Aplicar la regla de Stolz-Cesàro
La regla de Stolz-Cesàro se puede aplicar si tenemos una sucesión \( a_n \) y \( b_n \) con \( b_n \) estrictamente creciente y tal que \( \lim_{n \to \infty} b_n = \infty \). Entonces, si el límite \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} \) existe, este límite es igual a \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \).

En este caso, tomamos \( b_n = n \), así que necesitamos calcular:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{1}
\]

### Paso 2: Calcular \( a_{n+1} \) y \( a_{n+1} - a_n \)
\[
a_{n+1} = \frac{(n+1)^2 + 5(n+1)}{\sqrt{n+1} + 6}
\]
Expandimos y simplificamos:
\[
a_{n+1} = \frac{n^2 + 2n + 1 + 5n + 5}{\sqrt{n+1} + 6} = \frac{n^2 + 7n + 6}{\sqrt{n+1} + 6}
\]

Luego, calculamos \( a_{n+1} - a_n \):
\[
a_{n+1} - a_n = \frac{n^2 + 7n + 6}{\sqrt{n+1} + 6} - \frac{n^2 + 5n}{\sqrt{n} + 6}
\]
Para resolver esto, debemos simplificar esta expresión, pero dado que queremos el límite cuando \( n \) tiende a infinito, primero examinemos los términos dominantes.

### Paso 3: Simplificación en \( n \to \infty \)
Para grandes valores de \( n \), \( \sqrt{n+1} \) es aproximadamente \( \sqrt{n} \), así que podemos aproximar la expresión como:
\[
a_{n+1} - a_n \approx \frac{n^2 + 7n + 6}{\sqrt{n} + 6} - \frac{n^2 + 5n}{\sqrt{n} + 6}
\]
Esto se puede simplificar a:
\[
a_{n+1} - a_n \approx \frac{2n + 6}{\sqrt{n} + 6}
\]

Cuando \( n \to \infty \), el término dominante en el numerador es \( 2n \), y en el denominador \( \sqrt{n} \), así que:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} 2\sqrt{n} = \infty
\]

### Paso 4: Conclusión
Dado que el límite tiende a infinito, concluimos que:
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \infty
\]

### Respuesta:
El límite de la sucesión cuando \( n \) tiende a infinito es \( \infty \).

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplicaría la regla de Stolz-Cesàro en una sucesión diferente?
2. ¿Qué pasa si el término general de la sucesión tiene términos con logaritmos o exponentes?
3. ¿Cuáles son otros métodos para encontrar límites de sucesiones?
4. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que la regla de Stolz-Cesàro sea aplicable?
5. ¿Cómo se puede analizar el comportamiento de una sucesión sin usar la regla de Stolz-Cesàro?

**Tip:** Al analizar límites de sucesiones, enfócate en los términos dominantes, ya que estos determinan el comportamiento de la sucesión cuando \( n \) tiende a infinito.

Learn how to find the limit of the sequence a_n = (n^2 + 5n) / (√n + 6) as n approaches infinity using the Stolz-Cesàro rule. Step-by-step solution with detailed analysis and simplification. Suitable for advanced high school or college-level students.

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