Для решения предела следующего выражения:

$\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^3 + 8}$

нам нужно упростить числитель и знаменатель, и затем найти предел.

Шаг 1: Найдём значения числителя и знаменателя при $x = -2$

Числитель:

[ \sqrt[3]{-2 - 6} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0 ]

Знаменатель:

$(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$

Мы видим, что при $x = -2$ получаем неопределённость $\frac{0}{0}$. Для её устранения применим правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Применим правило Лопиталя, которое говорит, что если предел принимает форму $\frac{0}{0}$ или $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, то можно взять производные числителя и знаменателя и найти предел их отношения:

[ \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -2} \frac{\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x - 6} + 2)}{\frac{d}{dx} (x^3 + 8)} ]

Шаг 3: Найдём производные числителя и знаменателя

Производная числителя:

[ \frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x - 6} + 2) = \frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x - 6}) = \frac{1}{3}(x - 6)^{-2/3} ]

Производная знаменателя:

$\frac{d}{dx} (x^3 + 8) = 3x^2$

Шаг 4: Найдём предел для производных

Подставим производные обратно в предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{3}(x - 6)^{-2/3}}{3x^2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x - 6)^{-2/3}}{9x^2}$

Шаг 5: Найдём предел

Подставим $x = -2$ в выражение:

$\lim_{x \to -2} \frac{(-2 - 6)^{-2/3}}{9(-2)^2} = \frac{(-8)^{-2/3}}{9 \cdot 4} = \frac{\left(\frac{1}{(-8)^{2/3}}\right)}{36}$

$(-8)^{2/3} = \left(2^3 \right)^{2/3} = 2^2 = 4$

Таким образом, имеем:

$\frac{\frac{1}{4}}{36} = \frac{1}{144}$

Ответ:

$\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^3 + 8} = \frac{1}{144}$

Есть ли у вас вопросы или нужна дополнительная информация?

Вот 8 вопросов для дальнейшего изучения темы:

1. Каковы условия применения правила Лопиталя?
2. Какие другие методы существуют для нахождения пределов, кроме правила Лопиталя?
3. Какую роль играет неопределенность типа $\frac{0}{0}$ в анализе?
4. Какие особенности у производных функций со сложными степенями?
5. Как найти пределы сложных выражений с корнями и степенями?
6. Какие другие неопределённости, кроме $\frac{0}{0}$ и $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, вы знаете?
7. Как находить производные сложных функций?
8. Какие приложения правил нахождения пределов существуют в реальной жизни?

Совет:

При нахождении пределов всегда проверяйте форму неопределённости и выбирайте наиболее подходящий метод для её устранения.