https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172248288758517gmizad.png

реши задачи на русском языке

Для решения предела следующего выражения:

\[
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^3 + 8}
\]

нам нужно упростить числитель и знаменатель, и затем найти предел.

### Шаг 1: Найдём значения числителя и знаменателя при \( x = -2 \)

Числитель:

\[
\sqrt[3]{-2 - 6} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0
\]

Знаменатель:

\[
(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0
\]

Мы видим, что при \( x = -2 \) получаем неопределённость \( \frac{0}{0} \). Для её устранения применим правило Лопиталя.

### Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Применим правило Лопиталя, которое говорит, что если предел принимает форму \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \), то можно взять производные числителя и знаменателя и найти предел их отношения:

\[
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -2} \frac{\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x - 6} + 2)}{\frac{d}{dx} (x^3 + 8)}
\]

### Шаг 3: Найдём производные числителя и знаменателя

Производная числителя:

\[
\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x - 6} + 2) = \frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x - 6}) = \frac{1}{3}(x - 6)^{-2/3}
\]

Производная знаменателя:

\[
\frac{d}{dx} (x^3 + 8) = 3x^2
\]

### Шаг 4: Найдём предел для производных

Подставим производные обратно в предел:

\[
\lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{3}(x - 6)^{-2/3}}{3x^2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x - 6)^{-2/3}}{9x^2}
\]

### Шаг 5: Найдём предел

Подставим \( x = -2 \) в выражение:

\[
\lim_{x \to -2} \frac{(-2 - 6)^{-2/3}}{9(-2)^2} = \frac{(-8)^{-2/3}}{9 \cdot 4} = \frac{\left(\frac{1}{(-8)^{2/3}}\right)}{36}
\]

\[
(-8)^{2/3} = \left(2^3 \right)^{2/3} = 2^2 = 4
\]

Таким образом, имеем:

\[
\frac{\frac{1}{4}}{36} = \frac{1}{144}
\]

### Ответ:
\[
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^3 + 8} = \frac{1}{144}
\]

Есть ли у вас вопросы или нужна дополнительная информация?

Вот 8 вопросов для дальнейшего изучения темы:
1. Каковы условия применения правила Лопиталя?
2. Какие другие методы существуют для нахождения пределов, кроме правила Лопиталя?
3. Какую роль играет неопределенность типа \( \frac{0}{0} \) в анализе?
4. Какие особенности у производных функций со сложными степенями?
5. Как найти пределы сложных выражений с корнями и степенями?
6. Какие другие неопределённости, кроме \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \), вы знаете?
7. Как находить производные сложных функций?
8. Какие приложения правил нахождения пределов существуют в реальной жизни?

### Совет:
При нахождении пределов всегда проверяйте форму неопределённости и выбирайте наиболее подходящий метод для её устранения.

Learn how to find the limit of the expression (cube root of (x - 6) + 2) / (x^3 + 8) as x approaches -2. Step-by-step solution using L'Hôpital's Rule included. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation