Besedilo naloge na sliki pravi:

"Premici $p$ in $q$ sta podani z enačbama $p: y = 3x - 6$ in $q: y = -\frac{1}{3}x + 2$. Določi točko njunega presečišča in kot med njima. Rezultate zaokroži na dve decimalni mesti."

Rešitev:

1. Točka presečišča: Točka presečišča dveh premic je točka, kjer se njuni enačbi izenačita, kar pomeni, da iščemo rešitev sistema enačb:

   $3x - 6 = -\frac{1}{3}x + 2$

   Da rešimo to enačbo, najprej zberemo vse člene z $x$ na eno stran:

   $3x + \frac{1}{3}x = 2 + 6$

   Poenostavimo:

   $\frac{9x}{3} + \frac{x}{3} = 8$

   $\frac{10x}{3} = 8$

   Z množenjem obeh strani z 3 dobimo:

   $10x = 24$

   Torej:

   $x = \frac{24}{10} = 2.4$

   Sedaj vstavimo vrednost $x = 2.4$ v katerokoli enačbo premic, npr. v enačbo premice $p: y = 3x - 6$:

   $y = 3(2.4) - 6 = 7.2 - 6 = 1.2$

   Torej je točka presečišča premic $(2.4, 1.2)$.

2. Kot med premicama: Kot med dvema premicama z naklonoma $m_1$ in $m_2$ je podan z izrazom:

   $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

   V našem primeru sta naklona premic:

   • $m_1 = 3$ (premica $p$)
   • $m_2 = -\frac{1}{3}$ (premica $q$)

   Vstavimo te vrednosti v formulo za kot:

   $\tan \theta = \left|\frac{3 - \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}\right| = \left|\frac{3 + \frac{1}{3}}{1 - 1}\right|$

   To se poenostavi v:

   $\tan \theta = \frac{\frac{10}{3}}{0}$

   Ta vrednost je neskončna, kar pomeni da je točen kot med njima 90° stopinj.

Končni rezultat

• Točka presečišča premic $p$ in $q$ je $(2.4, 1.2)$.
• Kot med premicama je 90° stopinj.

---

Dodatna vprašanja:

1. Kako lahko preverimo pravilnost rešitve sistema enačb za točko presečišča?
2. Kakšna je razlika med kotom med premicama, ko sta vzporedni in ko sta pravokotni?
3. Kako bi izračunali kot med premicama, če bi bili nakloni drugačni?
4. Kakšen vpliv ima naklon premice na njen potek na grafu?
5. Kako bi izračunali razdaljo med dvema vzporednima premicama?

Namig: Vedno preveri, če so vsi koraki reševanja enačb pravilno izvedeni, saj lahko že majhna napaka vpliva na končni rezultat!