Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom T(1, -2), a s pozitivnim dijelom osi x zatvara dvostruko veći kut od pravca 9x - 3y + 11 = 0

Da bismo odredili jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku \( T(1, -2) \) i s pozitivnim dijelom osi \( x \) zatvara dvostruko veći kut od pravca \( 9x - 3y + 11 = 0 \), postupit ćemo na sljedeći način:

### 1. Izračunajmo nagib (koeficijent smjera) pravca \( 9x - 3y + 11 = 0 \).

Prvo preoblikujemo jednadžbu u eksplicitni oblik \( y = mx + b \), gdje je \( m \) nagib pravca.

\[
9x - 3y + 11 = 0
\]
\[
-3y = -9x - 11
\]
\[
y = 3x + \frac{11}{3}
\]

Dakle, nagib (koeficijent smjera) pravca je \( m_1 = 3 \).

### 2. Odredimo kut koji ovaj pravac zatvara s osi \( x \).

Kut koji pravac zatvara s osi \( x \) je definiran formulom:
\[
\tan \theta_1 = m_1
\]
\[
\tan \theta_1 = 3
\]
Odavde možemo izračunati kut \( \theta_1 \).

\[
\theta_1 = \tan^{-1}(3)
\]

### 3. Odredimo dvostruki kut.

Ako traženi pravac zatvara dvostruko veći kut, tada ćemo izračunati dvostruki kut:
\[
\theta_2 = 2\theta_1
\]
Izračun dvostrukog kuta nije direktno potreban, nego će nam trebati nagib novog pravca. Koristimo formulu za nagib u odnosu na dvostruki kut:
\[
\tan \theta_2 = \frac{2 \tan \theta_1}{1 - \tan^2 \theta_1}
\]
Primjenjujem formulu za dvostruki kut. Izračunat ćemo sada nagib novog pravca.import math

# Given slope of the first line
m1 = 3

# Calculating the angle of the first line with respect to the x-axis
theta1 = math.atan(m1)

# Calculating the double angle
theta2 = 2 * theta1

# Calculating the slope of the new line using the double angle formula
m2 = math.tan(theta2)
m2Nagib (koeficijent smjera) novog pravca koji zatvara dvostruko veći kut s osi \( x \) iznosi \( m_2 = -0.75 \).

### 4. Jednadžba pravca kroz točku T(1, -2)

Jednadžbu pravca možemo zapisati u obliku:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
gdje je \( (x_1, y_1) = (1, -2) \) točka kroz koju pravac prolazi, a \( m = -0.75 \) je nagib.

Ubacimo ove vrijednosti u formulu:
\[
y + 2 = -0.75(x - 1)
\]
\[
y + 2 = -0.75x + 0.75
\]
\[
y = -0.75x - 1.25
\]

Dakle, jednadžba traženog pravca je:
\[
y = -0.75x - 1.25
\]

### Imate li dodatnih pitanja ili želite detaljnija objašnjenja?

Evo 5 povezanih pitanja koja bi mogla proširiti vaše razumijevanje:

1. Kako se koristi nagib pravca za izračunavanje kuta koji pravac zatvara s osi \( x \)?
2. Možete li objasniti kako formula za dvostruki kut utiče na nagib novog pravca?
3. Kako možemo geometrijski interpretirati razliku između pravaca koji zatvaraju različite kutove s osi \( x \)?
4. Što se dešava s jednadžbom pravca kada kut koji zatvara s osi \( x \) postane vrlo malen ili vrlo velik?
5. Kako bi se postupak promijenio kada bi pravac zatvarao polovično manji kut umjesto dvostruko većeg?

### Tip: Kada pravac zatvara kut s osi \( x \), nagib pravca je povezan s tangentom tog kuta, a promjene kuta značajno utiču na smjer pravca.

Learn how to determine the equation of a line passing through point T(1, -2) and forming a double angle with the line 9x - 3y + 11 = 0 with detailed step-by-step calculations. This problem involves line equations, slope calculations, and trigonometric angle formulas. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation