Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom 7(1, 2), a s pozitivnim dijelom osi x zatvara dvostruko veći kut od pravca 9x - 3y + 11 = 0.

Da bismo odredili jednadžbu pravca koji prolazi točkom \( A(1, 2) \) i s pozitivnim dijelom osi \( x \) zatvara dvostruko veći kut od pravca \( 9x - 3y + 11 = 0 \), pratimo sljedeće korake:

1. **Jednadžba početnog pravca**:  
   Pravac \( 9x - 3y + 11 = 0 \) možemo zapisati u eksplicitnom obliku:
   \[
   y = 3x + \frac{11}{3}
   \]
   S obzirom da je nagib pravca \( k = 3 \), kut koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom osi \( x \) je \( \theta_1 = \arctan(3) \).

2. **Određivanje novog kuta**:  
   Budući da traženi pravac zatvara dvostruko veći kut, novi kut \( \theta_2 \) iznosi:
   \[
   \theta_2 = 2\theta_1 = 2\arctan(3)
   \]
   Nagib novog pravca \( k_2 \) je:
   \[
   k_2 = \tan(2\theta_1)
   \]
   Koristimo formulu za dupli kut za tangens:
   \[
   \tan(2\theta_1) = \frac{2\tan(\theta_1)}{1 - \tan^2(\theta_1)}
   \]
   Zamjenjujemo \( \tan(\theta_1) = 3 \):
   \[
   k_2 = \frac{2 \times 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}
   \]

3. **Jednadžba traženog pravca**:  
   Koristeći nagib \( k_2 = -\frac{3}{4} \) i točku \( A(1, 2) \), možemo zapisati jednadžbu pravca u obliku:
   \[
   y - y_1 = k(x - x_1)
   \]
   \[
   y - 2 = -\frac{3}{4}(x - 1)
   \]
   Množenjem sa 4 radi eliminacije razlomka:
   \[
   4(y - 2) = -3(x - 1)
   \]
   \[
   4y - 8 = -3x + 3
   \]
   \[
   3x + 4y - 11 = 0
   \]

Dakle, jednadžba traženog pravca je \( 3x + 4y - 11 = 0 \).

**Imate li dodatnih pitanja ili želite detaljnije objašnjenje?**

**Relativna pitanja:**
1. Kako se određuje nagib pravca iz jednadžbe pravca u općem obliku?
2. Koja je geometrijska interpretacija nagiba pravca?
3. Kako se koristi formula za tangens dvostrukog kuta?
4. Kako bismo izračunali kut između dva pravca?
5. Koje su moguće jednadžbe pravca u različitim oblicima?

**Tip:** Prilikom računanja kutova između pravaca, koristite formule za tangens dvostrukog kuta kako biste pojednostavili račun.

Learn how to find the equation of a line passing through point (1, 2) with a specific angle relative to another line. This problem involves analytic geometry concepts and the tangent of double angle formula. Suitable for high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation