Los focos de una elipse están en las rectas 3x - 5y - 25 = O y 2x + 3y + 1 = 0.
El eje focal es la recta x = 10. Hallar la ecuación de la elipse sí su eje menor
mide 8.

Para hallar la ecuación de la elipse, primero necesitamos encontrar los puntos de los focos y la longitud del eje mayor. Sabemos que la ecuación general de una elipse con centro \((h, k)\) y ejes alineados con los ejes coordenados es:

\[
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
\]

Donde:
- \(2a\) es la longitud del eje mayor.
- \(2b = 8\) es la longitud del eje menor.

1. **Encontrar los puntos de los focos:**
   Las rectas dadas son:
   \[
   3x - 5y - 25 = 0
   \]
   \[
   2x + 3y + 1 = 0
   \]

   Sabemos que los focos están sobre la recta \(x = 10\). Entonces, substituimos \(x = 10\) en cada una de las ecuaciones para encontrar los puntos de los focos.

   Para la primera recta:
   \[
   3(10) - 5y - 25 = 0 \Rightarrow 30 - 5y - 25 = 0 \Rightarrow 5 = 5y \Rightarrow y = 1
   \]
   Así, el primer foco es \( (10, 1) \).

   Para la segunda recta:
   \[
   2(10) + 3y + 1 = 0 \Rightarrow 20 + 3y + 1 = 0 \Rightarrow 21 + 3y = 0 \Rightarrow 3y = -21 \Rightarrow y = -7
   \]
   Así, el segundo foco es \( (10, -7) \).

2. **Encontrar el centro:**
   El centro de la elipse estará a la mitad del camino entre los dos focos. Calculamos el punto medio de \( (10, 1) \) y \( (10, -7) \):
   \[
   \left( \frac{10+10}{2}, \frac{1 + (-7)}{2} \right) = (10, -3)
   \]
   Así, el centro de la elipse es \( (10, -3) \).

3. **Calcular la distancia entre los focos (2c):**
   La distancia entre los dos focos es:
   \[
   \sqrt{(10-10)^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{0 + 64} = 8
   \]
   Así, \(2c = 8\), entonces \(c = 4\).

4. **Calcular \(a\):**
   Sabemos que la relación entre los semiejes es:
   \[
   c^2 = a^2 - b^2
   \]
   Dado que \(b = 4\) (la mitad de la longitud del eje menor):
   \[
   4^2 = a^2 - 4^2 \Rightarrow 16 = a^2 - 16 \Rightarrow a^2 = 32 \Rightarrow a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
   \]

5. **Ecuación de la elipse:**
   Con \(h = 10\), \(k = -3\), \(a = 4\sqrt{2}\), y \(b = 4\), la ecuación de la elipse es:
   \[
   \frac{(x-10)^2}{(4\sqrt{2})^2} + \frac{(y+3)^2}{4^2} = 1 \Rightarrow \frac{(x-10)^2}{32} + \frac{(y+3)^2}{16} = 1
   \]

Entonces, la ecuación de la elipse es:
\[
\frac{(x-10)^2}{32} + \frac{(y+3)^2}{16} = 1
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas que podrías querer hacer:
1. ¿Cómo encontrar los focos de una elipse si solo se conoce la ecuación?
2. ¿Cuál es la fórmula general de una elipse y cómo se relacionan sus parámetros?
3. ¿Cómo se determinan los semiejes mayor y menor de una elipse?
4. ¿Qué significan los focos en la geometría de una elipse?
5. ¿Cómo se puede hallar el centro de una elipse dada su ecuación?

**Tip:** Cuando trabajas con cónicas, identificar los elementos clave como los focos, el centro y los ejes es fundamental para resolver y entender las propiedades geométricas.

Learn how to find the equation of an ellipse when given the foci, the minor axis length, and other geometric details. This problem involves conic sections and basic geometry concepts. Suitable for high school students studying geometry.

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