Para hallar la ecuación de la elipse, primero necesitamos encontrar los puntos de los focos y la longitud del eje mayor. Sabemos que la ecuación general de una elipse con centro $(h, k)$ y ejes alineados con los ejes coordenados es:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Donde:

• $2a$ es la longitud del eje mayor.
• $2b = 8$ es la longitud del eje menor.

1. Encontrar los puntos de los focos: Las rectas dadas son: $3x - 5y - 25 = 0$ $2x + 3y + 1 = 0$

   Sabemos que los focos están sobre la recta $x = 10$. Entonces, substituimos $x = 10$ en cada una de las ecuaciones para encontrar los puntos de los focos.

   Para la primera recta: $3(10) - 5y - 25 = 0 \Rightarrow 30 - 5y - 25 = 0 \Rightarrow 5 = 5y \Rightarrow y = 1$ Así, el primer foco es $(10, 1)$.

   Para la segunda recta: $2(10) + 3y + 1 = 0 \Rightarrow 20 + 3y + 1 = 0 \Rightarrow 21 + 3y = 0 \Rightarrow 3y = -21 \Rightarrow y = -7$ Así, el segundo foco es $(10, -7)$.

2. Encontrar el centro: El centro de la elipse estará a la mitad del camino entre los dos focos. Calculamos el punto medio de $(10, 1)$ y $(10, -7)$: $\left( \frac{10+10}{2}, \frac{1 + (-7)}{2} \right) = (10, -3)$ Así, el centro de la elipse es $(10, -3)$.

3. Calcular la distancia entre los focos (2c): La distancia entre los dos focos es: $\sqrt{(10-10)^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{0 + 64} = 8$ Así, $2c = 8$, entonces $c = 4$.

4. Calcular $a$: Sabemos que la relación entre los semiejes es: $c^2 = a^2 - b^2$ Dado que $b = 4$ (la mitad de la longitud del eje menor): $4^2 = a^2 - 4^2 \Rightarrow 16 = a^2 - 16 \Rightarrow a^2 = 32 \Rightarrow a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

5. Ecuación de la elipse: Con $h = 10$, $k = -3$, $a = 4\sqrt{2}$, y $b = 4$, la ecuación de la elipse es: $\frac{(x-10)^2}{(4\sqrt{2})^2} + \frac{(y+3)^2}{4^2} = 1 \Rightarrow \frac{(x-10)^2}{32} + \frac{(y+3)^2}{16} = 1$

Entonces, la ecuación de la elipse es: $\frac{(x-10)^2}{32} + \frac{(y+3)^2}{16} = 1$

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas que podrías querer hacer:

1. ¿Cómo encontrar los focos de una elipse si solo se conoce la ecuación?
2. ¿Cuál es la fórmula general de una elipse y cómo se relacionan sus parámetros?
3. ¿Cómo se determinan los semiejes mayor y menor de una elipse?
4. ¿Qué significan los focos en la geometría de una elipse?
5. ¿Cómo se puede hallar el centro de una elipse dada su ecuación?

Tip: Cuando trabajas con cónicas, identificar los elementos clave como los focos, el centro y los ejes es fundamental para resolver y entender las propiedades geométricas.