Hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes sean las rectas x + y - 2 = O,

X - y + 2 = O, siendo los semiejes 1 y 4

Para hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes son las rectas \(x + y - 2 = 0\) y \(x - y + 2 = 0\), y cuyos semiejes miden 1 y 4, procederemos paso a paso. 

1. **Identificar el centro de la elipse:**

   Los ejes de la elipse son las bisectrices de los ángulos formados por las rectas dadas. Para encontrar el centro de la elipse, determinamos el punto de intersección de las dos rectas. 

   Resolvamos el sistema de ecuaciones:
   \[
   \begin{cases}
   x + y = 2 \\
   x - y = -2
   \end{cases}
   \]

   Sumando las dos ecuaciones:
   \[
   (x + y) + (x - y) = 2 + (-2) \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0
   \]

   Sustituyendo \(x = 0\) en una de las ecuaciones:
   \[
   0 + y = 2 \Rightarrow y = 2
   \]

   Así, el centro de la elipse es \((0, 2)\).

2. **Determinar la orientación y longitud de los semiejes:**

   Sabemos que los semiejes miden 1 y 4. La longitud del semieje mayor \(a\) es 4 y la del semieje menor \(b\) es 1. Dado que los ejes son las bisectrices, la elipse está rotada respecto a los ejes coordenados.

3. **Ecuación de la elipse en forma rotada:**

   La ecuación de una elipse con centro \((h, k)\) y ejes rotados un ángulo \(\theta\) es:
   \[
   \frac{(x' - h)^2}{a^2} + \frac{(y' - k)^2}{b^2} = 1
   \]

   Donde \(x'\) y \(y'\) son las coordenadas en el sistema rotado.

   Los ejes están alineados con las bisectrices de las rectas dadas, lo que corresponde a una rotación de 45 grados (\(\theta = \pi/4\)).

   Usamos las transformaciones:
   \[
   x' = x \cos(\theta) + y \sin(\theta)
   \]
   \[
   y' = -x \sin(\theta) + y \cos(\theta)
   \]

   Para \(\theta = \pi/4\):
   \[
   \cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}
   \]

   Entonces:
   \[
   x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)
   \]
   \[
   y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)
   \]

   Sustituyendo en la ecuación de la elipse:
   \[
   \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)^2}{4^2} + \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right)^2}{1^2} = 1
   \]

   Simplificando:
   \[
   \frac{2(x + y)^2}{32} + \frac{2(-x + y)^2}{1} = 1
   \]
   \[
   \frac{(x + y)^2}{16} + 2(-x + y)^2 = 1
   \]

4. **Expansión y simplificación:**

   Expandiendo y simplificando la ecuación:
   \[
   \frac{(x + y)^2}{16} + 2(x^2 - 2xy + y^2) = 1
   \]

   Finalmente, obtenemos la ecuación en términos de \(x\) y \(y\):
   \[
   \frac{x^2 + 2xy + y^2}{16} + 2x^2 - 4xy + 2y^2 = 1
   \]

   Simplificando y combinando términos semejantes:
   \[
   \frac{x^2 + 2xy + y^2}{16} + 2x^2 - 4xy + 2y^2 = 1
   \]
   \[
   x^2 + 2xy + y^2 + 32x^2 - 64xy + 32y^2 = 16
   \]
   \[
   33x^2 - 62xy + 33y^2 = 16
   \]

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es:
\[
33x^2 - 62xy + 33y^2 = 16
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas que podrías querer hacer:
1. ¿Cómo se determinan los ejes de una elipse rotada?
2. ¿Qué significan los parámetros \(a\) y \(b\) en la ecuación de una elipse?
3. ¿Cómo se derivan las transformaciones de coordenadas para una elipse rotada?
4. ¿Qué es el ángulo de rotación en una cónica y cómo se aplica?
5. ¿Cómo se encuentran las intersecciones de una elipse con los ejes coordenados?

**Tip:** Cuando trabajas con elipses rotadas, es útil entender cómo las transformaciones de coordenadas afectan la orientación y la forma de la elipse.

Learn how to find the equation of an ellipse whose axes are defined by intersecting lines x + y - 2 = 0 and x - y + 2 = 0, with semimajor and semiminor axes lengths of 4 and 1 respectively. This problem covers analytic geometry concepts including the standard form of an ellipse equation and rotation of axes formulas. Suitable for university-level students.

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