¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyos extremos de un diámetro son los puntos 𝑃(2,3) y 𝑄(−4,5)?

Para encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos extremos de un diámetro son los puntos \( P(2, 3) \) y \( Q(-4, 5) \), podemos seguir estos pasos:

1. **Encontrar el centro de la circunferencia**, que es el punto medio del diámetro \( PQ \).

2. **Calcular el radio de la circunferencia**, que es la distancia entre el centro y uno de los puntos extremos del diámetro.

3. **Formar la ecuación de la circunferencia** usando la fórmula general \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\).

### 1. Encontrar el centro de la circunferencia

El centro \((h, k)\) es el punto medio de \( P(2, 3) \) y \( Q(-4, 5) \):

\[
h = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad k = \frac{y_1 + y_2}{2}
\]

\[
h = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]

\[
k = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4
\]

El centro de la circunferencia es \((-1, 4)\).

### 2. Calcular el radio de la circunferencia

El radio \( r \) es la distancia entre el centro \((-1, 4)\) y uno de los puntos extremos del diámetro, por ejemplo, \( P(2, 3) \):

\[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

\[
r = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2}
\]

\[
r = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]

### 3. Formar la ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia con centro \((-1, 4)\) y radio \(\sqrt{10}\) es:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

Sustituyendo \( h = -1 \), \( k = 4 \), y \( r^2 = 10 \):

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 10
\]

Entonces, la ecuación de la circunferencia es:

\[
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 10
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas que podrías hacer:
1. ¿Cómo se encuentra la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano?
2. ¿Qué representa la forma estándar de la ecuación de un círculo?
3. ¿Cómo se determina si un punto está dentro, sobre, o fuera de una circunferencia?
4. ¿Qué propiedades geométricas tienen los diámetros de una circunferencia?
5. ¿Cómo se derivan las fórmulas de geometría analítica para círculos?

**Tip**: Para resolver problemas de geometría analítica, asegúrate de manejar con precisión las fórmulas de distancia y punto medio, ya que son fundamentales para encontrar ecuaciones de figuras geométricas.

Learn how to find the equation of a circle whose diameter endpoints are P(2, 3) and Q(-4, 5). This problem involves concepts from coordinate geometry, including the distance formula and midpoint formula. Suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation